Задания. 3.1. Определите момент инерции сплошного однородного диска радиусом 40 см и массой 1 кг относительно оси

3.1. Определите момент инерции сплошного однородного диска радиусом 40 см и массой 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов и перпендикулярной плоскости диска. [0, 12 кг× м²].

3.2. Определите момент инерции тонкого однородного стержня длиной 50 см и массой 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. [3× 10^{-2 кг}× м²].

3.3. Определите момент инерции тонкого однородного стержня длиной 50 см и массой 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, от­стоя­щую от конца стержня на 1/6 его длины. [1, 75× 10^-2 кг× м²; 4, 75× 10^-2 кг× м²].

3.4. Тонкий обруч диаметром 56 см и массой 300 г висит на гвозде, вбитом в стену. Определите его момент инерции относительно этого гвоздя. [0, 047 кг× м²].

3.5. Однородный шарик массой 100 г подвешен на нити, длина которой равна радиусу шарика. Определите момент инерции шарика относительно точки подвеса, если длина нити 20 см. [0, 0176 кг× м²].

3.6. Определите момент инерции сплошного однородного цилиндра радиусом 20 см и массой 1 кг относительно оси, проходящей через образующую цилиндра. [0, 06 кг× м²].

3.7. Однородный шар радиусом 10 см и массой 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению (В =2 рад/с², С = -0, 5 рад/с³). Определите момент сил для t = 3 с. [-0, 1 Н× м].

3.8. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого 150 кг× м², вращается с частотой 240 об/мин. Через время t = 1 мин, после того как на маховик стал действовать момент сил торможения, он остановил­ся. Определите момент сил торможения и число оборотов маховика от начала торможения до полной ос­тановки. [62, 8 Н× м; 120].

3.9. К ободу однородного сплошного диска ради­усом 0, 5 м приложена постоянная касательная сила 100 Н. При вращении диска на него действует мо­мент сил трения 2 Н× м. Определите массу ди­ска, если известно, что его угловое ускорение постоян­но и равно 16 рад/с². [24 кг].

3.10. Частота вращения маховика, момент инер­ции которого равен 120 кг× м², составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего мо­мента маховик под действием сил трения в подшипни­ках остановился за время t = 3, 14 мин. Считая трение в под­шипниках постоянным, определите момент сил тре­ния. [16 Н× м].

3.11. Вентилятор вращается с частотой 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав 50 оборотов, остановился. Работа сил торможения равна 31, 4 Дж. Определите момент сил торможения и момент инерции вентилятора. [0, 1 Н× м; 15, 9 кг× м² ].

3.12. Маховик в виде сплошного диска, момент инер­ции которого 1, 5 кг× м², вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшил частоту вращения с 240 до 120 об/мин. Определите угловое ускорение маховика и момент силы торможения. [0, 21 рад/с²; 0, 315 Н× м].

3.13. Однородный диск радиусом 0, 2 м и массой 0, 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени дается уравнением (В =8 рад/с²). Найдите величину касательной силы, приложенной к ободу диска. Трением пренебречь. [0, 4 Н].

3.14. Маховик, момент инерции которого равен 63, 6 кг× м², вращается с постоянной угловой скоростью 31, 4 рад/с. Найдите тормозящий момент, под действием которого маховик останавливается через 20 с. [100 Н× м].

3.15. Однородный стержень длиною 1 м и массой 0, 5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением вращается стержень, если вращающий момент равен 9, 81× 10^-2 Н× м? [2, 35 рад/с²].

3.16. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой 160 г перекинута невесомая нить, к концам которой подвешены грузы массами 200 и 300 г. Пренебрегая трением в оси блока, определите ускорение грузов и силы натяжения. [1, 69 м/с²; 2, 3 Н; 2, 44 Н].

3.17. На однородный сплошной ци­линдрический вал радиусом 50 см намотана легкая нить, к концу ко­торой прикреплен груз массой 6, 4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ус­корением 2 м/с². Определите мо­мент инерции и массу вала. [6, 25 кг× м²; 50 кг].

3.18. На барабан массой 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 2 кг. Найдите ускорение груза. Барабан считать однородным диском. Трением пренебречь. [3 м/с²].

3.19. На барабан радиусом 0, 5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 1 кг. Найдите момент инер­ции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением 2, 04 м/с². [9, 5 кг× м²].

3.20. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой 0, 2 кг перекинута не­весомая нить, к концам которой прикреплены тела мас­сами 0, 35 и 0, 55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определите ускорение грузов и отноше­ние сил натяжения нити. [1, 96 м/с²; 1, 05].

3.21. Тело массой 0, 25 кг, соединенное невесомой нитью посредством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом массой 0, 2 кг, скользит по поверхности горизонтального стола (см.рис. 3, с.15). Масса блока 0, 15 кг. Коэффициент трения тела о поверхность равен 0, 2. Пренебрегая трением в подшипниках, определите ускорение, с которым будут двигаться эти тела и силы натяжения нити по обе стороны блока. [2, 45 м/с²; 1, 1 Н; 1, 47 Н].

3.22. К ободу однородного сплошного диска массой 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила 30 Н. Определите кине­тичес­кую энергию диска через 4 с после начала действия силы. [1, 44 кДж].

3.23. Диск массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 4 м/с. Найдите кинетическую энергию диска. [24 Дж].

3.24. Шар диаметром 6 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая 4 об/с. Масса шара 0, 25 кг. Найдите кинетическую энергию шара. [0, 1 Дж].

3.25. Полная кинетическая энергия диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определите кинетические энергии поступа­тельного и вращательного движений диска. [16 Дж; 8 Дж].

3.26. Шар и сплошной цилиндр одинаковой массы, изготовленные из одного и того же материала, катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определите, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра. [в 1, 07 раза].

3.27. Обруч и диск имеют одинаковую массу и катятся без скольжения с одинаковой линейной скоростью. Кинетическая энергия обруча равна 4 Дж. Найдите кинетическую энергию диска. [2 Дж].

3.28. Определите, во сколько раз полная кинетическая энергия обруча, скользящего вдоль наклонной плоскости, меньше полной кинетической энергии обруча, катящегося по наклонной плоскости. [в 2 раза].

3.29. Сплошной однородный диск скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом. Определите линейное ускорение центра диска. [ ].

3.30. С наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, скатывается шар. С каким ускорением движется центр шара? [ ].

3.31. Шар скатывается с наклонной плоскости высотой 90 см. Какую линейную скорость будет иметь центр шара в тот момент, когда шар скатится с наклонной плоскости? [3, 5 м/с].

3.32. С наклонной плоскости, составляющей угол 30° к горизонту, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определите время движения шари­ка по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см. [0, 585 с].

3.33. Колесо радиусом 30 см и массой 3 кг скатывается без трения по наклонной плоскости длиной 5 м и углом наклона 30°. Определите момент инерции колеса, если его скорость в конце движения составляла 4 м/с. [0, 057 кг× м²].

3.34. Вертикальный столб высотой 5 м, подпиленный у основания, падает на землю. Определите линейную и угловую скорости его верхнего конца в момент удара о землю. [12 м/с; 2, 4 рад/с].

3.35. По горизонтальной плоской поверхности катится диск со скоростью 8 м/с. Определите коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь 18 м. [0, 27].

3.36. Шар массой 3 кг катится со скоростью 2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой 5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным. [- 6, 15 Дж].

3.37. Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость шара до удара о стенку 10 см/с, после удара 8 см/с. Найдите количество теплоты, выделившееся при ударе, и импульс, который получает стенка. [2, 52 мДж; 0, 18 кг·м/с].

3.38. Медный шар радиусом 10 см вращается с частотой 2 об/с вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить угловую скорость вращения вдвое? [34, 1 Дж].

3.39. Деревянный стержень массой 1 кг и длиной 40 см может вращаться вокруг оси, проходящей через его середину перпендикулярно к стержню. В конец стержня попадает пуля массой 10 г, летящая перпендикулярно к оси и стержню со скоростью 200 м/с. Определите угловую скорость, которую получит стержень, если пуля застрянет в нем. [29 рад/с].

3.40. Два маленьких шарика массами 40 и 120 г соответственно соединены стержнем длиной 20 см, масса которого ничтожно мала. Система вращается около оси, перпендикулярной к стержню и проходящей сквозь центр инерции системы. Определите импульс и момент импульса системы. Частота оборотов равна 3 с^-1. [0; 2, 3·10^-2 кг·м²/с].

3.41. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением 0, 4 рад/с². Определите кинетическую энергию маховика через 25 с после начала движения, если через 10 с после начала движения момент импульса маховика составлял 60 кг·м²/с. [750 Дж].

3.42. Какую работу нужно произвести, чтобы увеличить частоту оборотов маховика от 0 до 120 мин^-1? Массу маховика, равную 0, 5 т, можно считать распределенной по ободу диаметром 1, 5 м. Трением пренебречь. [22, 2 кДж].

3.43. На скамье Жуковского (платформа вращающаяся без трения) стоит человек и держит в руках стержень по оси скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью 4 рад/с. С какой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если стержень повернуть так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи 5 кг·м², длина стержня 2 м, масса 6 кг. Считать, что центр масс стержня с человеком в обоих случаях находится на оси платформы. [2, 9 рад/с].

3.44. На неподвижной скамье Жуковского стоит человек и держит в руке за ось велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью 25 рад/с. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи. С какой скоростью станет вращаться скамья, если повер­нуть колесо вокруг горизонтальной оси на угол 90°? Момент инерции человека и скамьи равен 2, 5 кг·м², момент инерции колеса 0, 5 кг·м². [5 рад/с].

3.45. Платформа в виде диска вращается по инерции без трения около вертикальной оси с частотой 14 мин^-1. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота возросла до 25 мин^-1. Масса человека 70 кг. Определите массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки. [178 кг].

3.46. Горизонтальная платформа массой 150 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы с частотой 8 мин^-1. Человек массой 70 кг стоит при этом на краю платформы. С какой угловой скоростью начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу круглым однородным диском, а человека - материальной точкой. [1, 62 рад/с].

3.47. Горизонтальная платформа массой 25 кг и радиусом 0, 8 м вращается с частотой 18 мин^-1. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определите частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 3, 5 кг·м² до 1 кг·м². [23 мин^-1].

3.48. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной 2, 5 м, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции 10 кг·м² и вращается с частотой 12 мин^-1. Если стержень повернуть в горизонтальное положение, держась за его середину, то частота вращения системы станет 8, 5 мин^-1. Определите массу стержня. [8 кг].

3.49. Человек массой 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом 1 м и массой 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10 мин^-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру. [65, 8 Дж].

3.50. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром 0, 8 м и массой 6 кг стоит человек массой 60 кг. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой 0, 5 кг? Траектория мяча горизонтальна и прохо­дит на расстоянии 0, 4 м от оси скамьи. Скорость мяча 5 м/с. [0, 1 рад/с].

3.51. Платформа в виде диска диаметром 3 м и массой 180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой 70 кг со скоростью 1, 8 м/с относительно платформы? [0, 53 рад/с].

3.52. В центре вращающегося столика стоит человек, держащий на вытянутых руках на расстоянии 150 см друг от друга две гири. Столик вращается с частотой 1 с^-1. Человек сближает гири до расстояния 80 см, и частота увеличивается до 1, 5 с^-1. Определите работу, произведенную человеком, если каждая гиря имеет массу 2 кг. Момент инерции человека относительно оси столика считать постоянным. [48 Дж].