Розрахунок ККД термоелемента Нернста-Еттінгсгаузена

Для вивода загальної формули ККД генератора не потрібно знати його конкретну будову, а необхідно тільки розглянути баланси енергії і ентропії при роботі генератора. На рис. 5 будова генераторів символічно зображено прямокутником ( – тепло, що поглинається, – тепло, що віддається, – зовнішня нормаль до поверхні генератора, – густина потоку тепла, що перетинає поверхню генератора). В подальшому окремих видів генераторів будемо конкретизувати їх будову.

Рис. 5

Згідно першого принципу термодинаміки робота, що виконана генератором, дорівнює

,, (2.4.1)

Звичайно під генератором розуміють періодично діючу машину і тоді, оскільки у кожному циклі робоча речовина машини приходить у вихідний стан є зовнішня робота.

ККД генератора по означенню є

. (2.4.2)

Перетворимо цей вираз до іншого вигляду, використовуючи другий принцип термодинаміки

. (2.4.3)

В стаціонарному стані генератора

, . (2.4.4)

Проінтегруємо (2.1.4) по об’єму генератора і введемо цьому позначення

. (2.4.5)

Тоді

. (2.4.6)

Перетворимо об’ємний інтеграл в (2.1.6) у поверхневий, використовуючи вираз для густини потоку ентропії [3]

, (2.4.7)

тоді

. (2.4.8)

Розіб’ємо поверхню інтегрування на чотири поверхні: дві бокові, верхні і нижню. Так як бокові поверхні адіабатично ізольовані, то дорівнює нулю на цих поверхнях. Температури і на верхній та нижній гранях постійні, тому їх виносимо із під інтегралів і отримаємо

. (2.4.9)

Інтеграл – тепло, що проходить через відповідну поверхню. Оскільки на верхній поверхні , а на нижній , тому (2.4.9) приймає вигляд

. (2.4.10)

Із (2.1.1) слідує, що

, (2.4.11)

і значить, що

. (2.4.12)

Звідси находимо

. (2.4.13)

тобто

. (2.4.14)

Вираз

. (2.4.15)

Тут – ККД циклу Карно, тому

. (2.4.16)

Підставляючи (2.1.16) в (2.1.2), отримаємо

. (2.4.17)

З (2.1.5) слідує, що пов’язано з незворотними процесами у генераторі. Якщо би таких процесів не було, тоді дорівнювало б нулю, і ККД генератора дорівнювало ККД циклу Карно. В реальних генераторах незворотні процеси існують і тому і отож .

Позначимо через додатну величину генератора

. (2.4.18)

Тоді ККД генератора набуває вигляду

. (2.4.19)

Задача знаходження зводиться в основному до знаходження . Формула (2.1.10) дає зручний вираз для розрахунку , для чого необхідно знайти і . Запишемо густину потоку тепла у вигляді

. (2.4.20)

Тоді і визначаються як

. (2.4.21)

. (2.4.22)

де – площа поперечного перерізу генератора, що перпендикулярна до потоку , Знаходимо

, (2.4.23)

(2.4.24)

У подальшому розрахунок зводиться до розрахунку розподілу температури у генераторі.