Построение математической модели задачи линейного программирования

Прежде чем построить математическую модель задачи, т.е. записать ее с помощью математических символов, необходимо четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого необходимо с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:

Что является искомыми величинами задачи?

Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к min) для достижения наилучших результатов?

Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены? Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, например, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.

Только после экономического ответа на все эти вопросы можно приступать к записи этих ответов в математическом виде, т.е. к записи математической модели.

1) Искомые величины являются переменными задачи, которые как правило обозначаются малыми латинскими буквами с индексами, например, однотипные переменные удобно представлять в виде .

2) Цель решения записывается в виде целевой функции, обозначаемой, например, F(x). Математическая формула целевой функции F(x) отражает способ расчета значений параметра – критерия эффективности задачи.

3) Условия, налагаемые на переменные и ресурсы задачи, записываются в виде системы равенств или неравенств, т.е. ограничений. Левые и правые части ограничений отражают способ получения (расчет или численные значения из условия задачи) значений тех параметров задачи, на которые были наложены соответствующие условия.

В процессе записи математической модели необходимо указывать единицы измерения переменных задачи, целевой функции и всех ограничений.

Задача. Предприятие изготавливает два вида продукции – П₁ и П₂, которая поступает в оптовую продажу. Для производства продукции используются два вида сырья — А и В. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Расход сырья на единицу продукции вида П₁и вида П₂дан в таблице.

Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию П₁ никогда не превышает спроса на продукцию П₂более чем на 1 ед. Кроме того, известно, что спрос на продукцию П₂никогда не превышает 2 ед. в сутки.

Расход сырья продукции

Оптовые цены единицы продукции равны: 3 д. е. - для П₁и 4 д. е. для П₂.

Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Решение. Для решения задачи требуется определить объемы производства каждого вида продукции в килограммах, максимизирующие доход в д.е. от реализации продукции, с учетом ограничений на спрос и расход исходных продуктов.

Для построения математической модели необходимо идентифицировать переменные и представить цель и ограничения в виде математических функций этих переменных.

Предположим, что предприятие изготовит x₁ единиц продукции П₁ и х₂ единиц продукции П₂. Поскольку производство продукции П₁ и П₂ ограничено имеющимися в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию, а также учитывая, что количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, должны выполняться следующие неравенства:

2x₁+3x₃£ 9 – ограничение по количеству сырья первого вида;

3x₁+2x₂£ 13 – ограничение по количеству сырья второго вида;

x₁-x₂£ 1 – суточный спрос на продукцию П₁ никогда не превышает спроса на продукцию П₂более чем на 1 ед.

x₂£ 2 – спрос на продукцию П₂никогда не превышает 2 ед. в сутки;

x₁≥ 0 – количество продукции П₁ не может быть отрицательным;

x₂≥ 0 – количество продукции П₂ не может быть отрицательным;

Целевая функция: F = Зх₁ + 4х₂ - доход от реализации x₁ единиц продукции П₁ и х₂ единиц продукции П₂.

Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений данной системы линейных неравенств требуется найти такое, при котором функция F принимает максимальное значения F_max.

Итак, математическая модель этой задачи имеет вид:

F = 3x₁ + 4x₂ ® max [д.е./сутки]