Краткая теория. Методы оценки погрешностей при прямых и косвенных

Методы оценки погрешностей при прямых и косвенных

Измерениях количественных значений различных величин

Цель работы: 1. Научиться обрабатывать результаты прямых и косвенных измерений с учетом случайных и систематических погрешностей.

2. Научиться оформлять отчет о выполнении лабораторной работы.

Литература

1. [1], Гл. 2; §§ 2.3, 2.5 – 2.9.

2. [2], §§ 97 - 99.

3. [5], стр. 5 – 25.

4. Лекции по теории вероятностей и математической статистике для студентов лечебного и педиатрического факультетов; материалы практических занятий.

Вопросы входного контроля

1. Правила действий над приближенными числами.

2. Какие величины называются случайными? Дискретные и непрерывные случайные вели­чины.

3. Законы распределения и числовые характеристики дискретной случайной величины.

4. Стандартные интервалы в законе нормального распределения.

5. Что значит измерить физическую величину?

6. Какие измерения называются прямыми, какие косвенными?

7. Виды погрешностей.

8. Абсолютная и относительная погрешности.

9. Использование понятия полного дифференциала для определения погрешности косвенного измерения.

Краткая теория

Измерения - одна из самых распространенных операций в практике человеческой деятельности. Каждый результат измерения характеризируется, кроме самого значения измеренной величины еще и точностью, с которой он получен. Состояние производства и научных исследований предъявляют постоянно растущие требования к точности измерений, которые удовлетворяются не только за счет создания и применения все более чувствительных приборов, но и путем использования более тонких и эффективных мето­дов обработки результатов измерений.

Результаты измерений физических величин, проводимых в научно – исследовательской или учебных лабораториях всегда являются не абсолютно точными, а приближенными, потому что каждое измерение сопровождается погрешностью. Поэтому в задачу измерений входит не только определение значения самой величины, но также и оценка допущенных погрешностей.

Измерения делятся на прямые и косвенные. Прямыми называются такие измерения, при кото­рых искомая величина измеряется непосредственно с помощью прибора. Косвенными называются такие измерения, при кото­рых искомая величина находится в функциональной зависимости от других величин, полученных путем прямого измерения. Например: площадь прямоугольной поверхности можно вычислить по формуле S=a*b, где значения величин a и b можно измерить непосредственно при помощи инструментов.

Чтобы результаты измерений получались более точными, необходимо тщательно выполнять следующие правила:

1. Проверять средства измерения и правильно их применять.

2. Снимать показания со средств измерений с практически необходимой точностью.

3. Вычислять искомую величину по результатам измерений с соблюдением правил приближенных вычислений и с учетом погрешности.

Погрешности при измерениях величин принято подразделять на три вида: систематические, случайные и промахи. Систематической (приборной) называют погрешность, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же физической величины. Величина систематической погрешности в основном зависит от качества измерительного прибора. Случайной называют погрешность, которая вызывается действием не поддающихся контролю многочисленных, независимых друг от друга факторов. Величина ее зависит от условий измерения и навыков экспериментатора. Промахом называют погрешность, которая оказывается намного больше ожидаемой в денных условиях.

Систематические погрешности, допускаемые при прямых измерениях обусловливаются в основном чувствительностью прибора. Поэтому их называют инструментальными или приборными. Для характеристики большинства измерительных приборов пользуются понятием приведенной погрешности:

K= /

где - абсолютная погрешность или разность между действительным значением измеряемой величины и показанием прибора, а - набольшее значение, которое может быть измерено по шкале прибора.

По приведенной погрешности все приборы делятся на классы точности (0, 1; 0, 2; 0, 5; 1, 0; 1, 5; 2, 5; 4), которые отражают величину приведенной погрешности в процентах. Зная класс точности прибора, можно рассчитать его абсолютную приборную погрешность:

В тех случаях, когда на приборе класс точности не указан, приборная погрешность принимается равной половине цены наименьшего деления шкалы.

Поэтому вычисление погрешности при оценке истинного значения измеряемой величины сводится к определению ее интервальной оценки по конечному числу случайных значений измеряемой величины. Причем, при прямых и при косвенных измерениях, необходимо систематические (приборные) и случайные погрешности рассматривать сначала раздельно. Затем соответствующие доверительные границы сводят к общим границам, характеризующим полную погрешность измерений.

Часто результаты многократных измерений подчиняются нормальному закону распределения (распределения Гаусса), т.е. бывает равновероятно получить результаты как большие, так и меньшие, чем истинное значение измеряемой величины.

План обработки результатов прямых измерений

Пусть с целью получения наиболее точного значения произведено n измерений искомой величины X, распределение которой подчиняется нормальному закону, и получено n значений:

Рассмотрим этапы стандартной статистической обработки результатов измерений и оценки погрешностей.

1. Находим среднее арифметическое значение измеряемой величины:

.

2. Вычисляем абсолютные погрешности результатов отдельных измерений:

.

3. Вычисляем среднюю квадратичную погрешность отдельных измерений:

.

4. Отбрасываем промахи, т.е. те результаты, для которых: и уточняем оставшееся число измерений, которое и будем снова принимать за n.