При этом ток в цепи изменяется по закону

I = I₀cos (wt - j).

Угол сдвига фаз между током и напряжением определяется из выражения

. (14.3)

Сила тока и угол сдвига фаз, как это видно из (14.1) и (14.2), являются функцией круговой частоты w действующего в цепи напряжения[4]. Приблизительные графики этих функций приведены на рис. 14.2.

Реактивные сопротивления соответственно равны:

индуктивное сопротивление - X_L = wL, (14.4)

емкостное сопротивление - X_C = 1/ wC. (14.5)

2. Измерение индуктивности и емкости методом вольтамперметра

Если в цепи переменного тока включена только емкость то

Z = X_C и I = UwC,

откуда

. (14.6)

Если в цепи включена только катушка с индуктивностью L и активным сопротивлением R, то

и ,

откуда

. (14.7)

Таким образом, полученные выражения (14.6) и (14.7) могут быть использованы для измерения индуктивности и емкости по методу вольтамперметра (лаб. раб. 3)[5]. Для этого достаточно измерить величины тока напряжения в цепи переменного тока.

3. Резонанс в последовательной цепи

Как видно из (14.2) при некоторой частоте w_r ток в цепи достигает максимального значения. Этот режим работы называется резонансным, а частота w_r - резонансной частотой[6]. На рис. 14.2 показано изменение амплитуды тока I и угла сдвига фаз j с частотой в последовательном контуре. Из закона Ома следует, что ток в цепи достигает максимального значения при частоте, удовлетворяющей условию:

из которого следует, что: . (14.8),

В резонансном режиме (X_L - X_C) равно нулю, поэтому все сопротивление цепи является активным Z = R и ток в цепи равен

.

При резонансе j = 0 (это следует из (14.3)) – ток совпадает по фазе с напряжением. При w < w_r цепь имеет емкостной характер (j > 0)[7]. При w > w_r индуктивный характер (j < 0). В резонансном режиме напряжения на индуктивности и емкости могут быть больше напряжения, которое подается на цепь. Действительно:

U_L = I_rX_L = ,

U_C = I_rX_C = ,

Таким образом, U_L = U_C и при , U_L > U и U_C > U.

При малых активных сопротивлениях R напряжения на индуктивности и емкости могут значительно превосходить напряжение, которое подается на цепь. По этим соображениям резонанс в последовательной цепи называют резонансом напряжений[8].

Цепь представленная на рис. 14.1 есть не что иное, как последовательный колебательный контур, который без вынуждающей электродвижущей силы ведет себя подобно затухающему осциллятору. Относительное затухание осциллятора обычно определяется величиной добротности контура. Для осциллятора с частотой w величина добротности представляет собой безразмерное отношение следующего вида:

.

Для колебательного контура величина добротности определяется так[9]:

. (14.9)

Если R = 0, мы имеем осциллятор теоретически без затухания с частотой w_r, равной .

Можно показать, что ширина резонансной кривой (рис. 14.2) непосредственно связана с величиной добротности. При резонансе Z = R. Если же частота вынуждающей электродвижущей силы w отличается от w_r, то величина подкоренного выражения в (14.2) удвоится когда | wL – 1/ wC | = R, или приближенно

. (14.10)

Это означает, что при Dw / w_r = 1/(2Q)амплитуда тока уменьшается до от его максимального значения (или 0.71 I _r). Точки, отвечающие w_r ± Dw, называют точками «половинной энергии», так как энергия, или мощность пропорциональна квадрату амплитуды. За ширину резонансного пика часто принимают расстояние 2 Dw между точками половинной энергии (Рис. 14.2). Очевидно, что ширина резонансной кривой равна произведению 1/ Q на резонансную частоту[10]. Практически для определения добротности надо измерить резонансную частоту и ширину резонансной кривой в единицах частоты на уровне 0.71 от максимального значения и полученные величины поделить друг на друга. Величина добротности контура в радиодиапазоне обычно лежит в пределах от единиц до нескольких сотен. В микроволновом диапазоне величина Q может достигать порядка 10⁴.

4. Измерения

Экспериментальная установка состоит из звукового генератора, амперметра переменного тока Щ4300, цифрового вольтметра Щ4300 и электронного частотомера Ч3-3А. Измеряемые объекты: реостат, катушка индуктивности, конденсатор.

4.1. Звуковой генератор

Внешний вид и ручки управления генератора приведены на рис. 14.3. У генератора имеются два симметричных выходных гнезда " Выход" и гнездо заземления. Подключаются внешние цепи между земляным выводом и одним из выходов.

4.2. Частотомер

Если в состав установки входит звуковой генератор, у которого шкала установки частоты недостаточно точна, то в работе для измерения частоты используется электронный частотомер. Частотомер подключается непосредственно к одному из выводов звукового генератора. Сигнал с генератора по кабелю поступает на вход «А» частотомера. Переключатель режима работы частотомера следует установить в положение F_А, а переключатель режима запуска необходимо установить в положение внешнего запуска. Для измерения частоты необходимо нажать кнопку ручного запуска измерения на передней панели. Для последующего измерения частоты процесс измерения повторяют. Частотомер остается подключенным к звуковому генератору во всех опытах.

4.3. Методика измерений

В первом задании измеряется активное сопротивление катушки и реостата с помощью омметра прибора Щ4300.

Во втором задании собирается цепь, состоящая из звукового генератора, и соединенных последовательно конденсатора и амперметра (рис.14.4). Параллельно конденсатору подключается вольтметр Щ4300. Во второй части первого задания вместо конденсатора включается катушка индуктивности. У катушки есть несколько выводов. В работе используется выводы с числом витков 1200 и 2400.

В третьем задании в составе внешней цепи остается амперметр и реостат, параллельно которому подключается вольтметр. Реостат используется в качестве индуктивности и в цепь включается полностью (между нижними выводами).

В четвертом задании собирается последовательный колебательный контур рис. 14.1.

Рис. 14.4. Схема соединения приборов при измерениях индуктивности и емкости (а), принципиальная схема (б).

В четвертом задании собирается цепь, приведенная на рис. 14.1. В качестве активного сопротивления и конденсатора используется соответствующие магазины, а в качестве индуктивности L катушка индуктивности[11]. Цифровой вольтметр подключается параллельно одному из сопротивлений с учетом правильного присоединения его общего вывода. Для контроля амплитуды и формы сигнала параллельно можно подключить осциллограф. Однако измерение амплитудно-частотной характеристики производится с помощью цифрового вольтметра, так как это обеспечивает большую точность измерения.

Задание 1

Измерение активного Соротивления катушки индуктивности и реостата

1. Включить один из приборов Щ4300 в режим измерения сопротивлений. Подключить катушку индуктивности и измерить ее сопротивление. При необходимости выбрать нужный предел измерения. Значение активного сопротивления катушки R _L записать.

2. Провести подобные измерения для реостата. Значение активного сопротивления реостата R _R записать.

Задание 2

Измерение емкости методом вольтамперметра

1. Согласно рекомендациям предыдущего раздела соберите схему, приведенную на рис. 14.4, включив в цепь емкость. Включите приборы в сеть. Установите частоту генератора 50 Гц. Ручкой «Уровень» генератора по шкале вольтметра генератора выставите напряжение на выходе порядка 10 В. Проведите измерение тока и напряжения. Установите последовательно частоты 100 Гц, 500 Гц и 1000 Гц. Проведите измерения тока и напряжения.

2. По формуле (14.5) рассчитать реактивное сопротивление для каждой частоты. При этом учтите, что на шкале генератора отсчитывается частота ν. Для расчетов найдите круговую частоту w = 2π ν _.

3. По формуле (14.6) вычислите величину емкости конденсатора. Найдите среднее значение по всем результатам измерений.

4. Все полученные результаты оформить в виде таблицы.

Задание 3

Измерение индуктивности методом вольтамперметра

1. В схеме предыдущего задания замените конденсатор катушкой индуктивности, включив 1200 витков и также как и в предыдущем задании для четырех значений частоты повторите измерения тока и напряжения на катушке. Данные запишете в таблицу аналогичную таб. 1.

2. Вычислите значение реактивного сопротивления катушки Х _L по формуле (14.4).

3. Для всех частот вычислите индуктивность катушки по формуле (14.7). Найдите среднее значение. При расчетах использовать значение активного сопротивления катушки полученное в первом опыте. Результаты измерений оформите в виде таблицы, аналогичной таблице 1.

4. Включите на катушке 2400 витков. Повторите измерения и заполните соответствующую таблицу.

Таблица 1

Задание 4.

Измерение индуктивности соленоида

В этом задании в качестве соленоида используется реостат.

1. Соберите цепь аналогичную предыдущим и содержащую только реостат, измерительные приборы и звуковой генератор. Реостат подключите полностью к нижним выводам. Цифровой вольтметр подключите параллельно реостату. Начните измерения на частоте 1000 Гц.

2. Проведите измерение тока и напряжения. При расчетах индуктивности (14.7) учтите активное сопротивление реостата R_R, которое было измерено в первом задании.

3. Повторите измерения при частоте 2000 Гц и частоте 4000 Гц. Все данные запишите в таблицу 4. Вычислите среднее значение индуктивности обмотки реостата.

4. С помощью линейки и штангенциркуля измерьте геометрические размеры соленоида (длину и диаметр намотки). Посчитайте число витков на один сантиметр намотки и определите плотность намотки n, т.е. число витков 1 метр длины подобного соленоида.

5. По формуле L = m₀n²V вычислите индуктивность соленоида L_расч. Здесь n число витков на единицу длины, V – объем катушки как цилиндра в пределах намотки, m₀ = 4p 10^-7 Гн/м.Результат занесите в таблицу 4.

Таблица 4

Задание 5.

Изучение резонанса в последовательной цепи

1. Для изучения резонанса используется цепь аналогичная приведенной на рис. 14.1. Последовательно соедините миллиамперметр, С – емкость, L – индуктивность 1200 витков (рис. 14.5). Выходное напряжение по шкале генератора установите порядка 10 В. Изменяя частоту генератора от 100 Гц с шагом 50 Гц до 500 Гц, измерьте по миллиамперметру ток в цепи. Данные запишите в таблицу. По данным оцените частоту, соответствующую максимуму тока. Вращая ручку генератора вблизи максимума тока, найдите точное значение резонансной частоты ν _r.

2. Зная резонансную ν _r, найдите круговую частоту w _r = 2π ν _r и используя известную из второго задания емкость конденсатора по формуле (14.8) рассчитайте индуктивность катушки. Полученный результат сравните со значением, полученным во втором задании.

3. Включите на катушке 2400 витков и повторите предыдущие измерения в диапазоне частот от 30 до 250 Гц.

4. Постройте графики двух частотных характеристик. По графикам для каждой кривой определите частоты половинной мощности и по формуле Q = w _r/(2 Dw) рассчитайте величину добротности контура. По формуле Q _теор = w _r L / R_L рассчитайте теоретическое значение добротности. Сравните полученные результаты. При расчетах используете значение индуктивности определенное ранее и учтите, что у катушки имеется активное сопротивление, измеренное в первом задании R _L.

Контрольные вопросы

1. Какой режим работы цепи переменного тока называется резонансным?

2. Чему равно полное сопротивление цепи переменного тока?

3. Чему равно полное сопротивление, ток и разность фаз между током и напряжением в резонансном режиме?

4. Что такое активное и реактивное сопротивления цепи?

Литература

1. Э. Парсел. Электричество и магнетизм. М.: – Наука 1975. Глава 8.

2. А. Н. Матвеев. Электричество и магнетизм. – М.: - Высш. школа, 1983. §48, §50.

[1] При каких условиях применим закон Ома для цепей переменного тока.

[2] Что такое реальное сопротивление цепи переменному току.

[3] Что называется полным сопротивлением цепи.

[4] Отчего зависит угол сдвига фаз между током и напряжением.

[5] Что такое метод вольтамперметра для цепи переменного тока.

[6] Что такое резонансный режим цепи.

[7] Чему равно сопротивление цепи в резонансном режиме.

[8] Почему в последовательной цепи имеет место резонанс напряжений.

[9] Что называется добротность колебательного контура.

[10] Чем определяется ширина резонансной кривой колебательного контура.

[11] Примечание. В этом задании следует воспользоваться значением индуктивности катушки измеренном во втором задании.