![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
ЛЕКЦИЯ 6 Функция распределения
2. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок. 3. Плотность распределения. в) Функция распределения Ряд распределения, давая исчерпывающую характеристику дискретной случайной величине, не может быть использован для задания непрерывной случайной величины. Для количественной характеристики распределения вероятностей непрерывной величины надо пользоваться не вероятностью события Функцию распределения называют также интегральной функцией или интегральным законом распределения. Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин – дискретных и непрерывных, являясь одной из форм закона распределения. При использовании функции распределения необходимо знание ее общих свойств, к числу которых относятся следующие: 1. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при 2. Функция распределения на 3. Функция распределения на Эти свойства легко проиллюстрировать используя геометрическую интерпретацию вероятности, рассматривая случайную величину X как случайную точку X на оси 0x. Тогда функция распределения Рис. 2.2. График функции распределения где суммирование распространяется лишь на те значения Так например, пусть закон распределения дискретной случайной величины задан рядом распределения: Построим график соответствующей функции распределения. В соответствии с определением: 1) при 2) при 3) при 4) при 5) при 6) при График функции распределения представлен на рис. 2.3. Рис. 2.3 Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная функция ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки – меньше. Ступенчатая кривая становится более плавной (рис. 2.4). Случайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а ее функция распределения – к непрерывной функции (рис. 2.5).
Рис. 2.4 Рис. 2.5 Обычно функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой функцию, непрерывную во всех точках (рис. 2.5). Однако можно найти пример случайных величин, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде непрерывна, а в отдельных точках терпит разрывы (рис. 2.5а). Такие случайные величины называются смешанными. Рис. 2.5а Пример смешанной величины – время работы до отказа прибора (Т), испытываемого в течении времени г) Вероятность попадания случайной величины на заданный участок. Знание закона распределения случайной величины в форме функции распределения позволяет легко решить важную практическую задачу, а именно: вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некоторых пределах, например от a до b. Это событие определяют термином " попадание случайной величины на участок от a до b". Условимся для определенности включать в участок Вероятность этого события можно выразить через функцию распределения величины X. Для этого рассмотрим три события: 1. Событие А, состоящее в том, что 2. Событие В, состоящее в том, что 3. Событие С, состоящее в том, что Учитывая, что откуда т.е. вероятность попадания случайной функции на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке. Полученная зависимость позволяет определить вероятность принятия случайной величиной любого отдельного значения на участке Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция Из того, что событие д) Плотность распределения. Функция распределения, увеличиваясь от значения к значению, является функцией " накопленной" вероятности и не дает простого и наглядного представления о законе распределения случайной величины. Этого недостатка лишена функция Для получения ее рассмотрим вероятность попадания случайной величины X на участок Найдем теперь среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины этого участка, а сам участок будет стягивать в точку за счет Функция Рис. 2.6 Плотность распределения как и функция распределения есть одна из форм задания закона распределения. Эта форма более удобна и наглядна, однако она существует только для непрерывных случайных величин. С помощью плотности распределения легко вычислить вероятность попадания случайной величины на заданный участок. Если это элементарный участок Включение или исключение из интервала конечных значений a и b роли не играют, т.к. но для непрерывной случайной величины: тогда: По плотности распределения легко найти функцию распределения: J– Отметим основные свойства плотности распределения. 1. Плотность распределения есть неотрицательная функция: т.к. 2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен 1. Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что: ¾ во-первых вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс; ¾ во-вторых полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
|