![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
ЛЕКЦИЯ 11 Постановка задачи по нахождению параметров распределения
2. Оценки для математического ожидания и дисперсии. 3. Доверительный интервал, доверительная вероятность. г) Нахождение неизвестных параметров распределения. Для определения закона распределения необходимо располагать обширным статистическим материалом. На практике приходится иметь дело с материалом ограниченного объема – несколько десятков наблюдений. На основе ограниченного статистического материала можно определить основные числовые характеристики случайной величины, – и это – важнейшая задача математической статистики. Необходимо отметить, что любое значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, всегда содержит элемент случайности. Такое приближенное, случайное значение называют оценкой параметра. Любая из таких оценок случайна. При пользовании ею неизбежны ошибки. Желательно выбрать такую оценку, чтобы эти ошибки были по возможности минимальны. Выясним, каким требованиям должна в таком случае удовлетворять оценка. Рассмотрим случайную величину X, закон распределения которой содержит неизвестный параметр a. Найдем оценку для параметра а по результатам n независимых опытов. В каждом опыте величина X принимала определенное значение, которое обозначим как Обозначим оценку параметра а через а потому сама является случайной величиной. Закон распределения Оценка 1. При увеличении числа опытов n оценка должна сходиться к оцениваемому параметру. Оценка, обладающая таким свойством называется состоятельной. 2. Использование оценки 3. Несмещенная оценка должна обладать в сравнении с другими наименьшей дисперсией, т.е. Оценка, обладающая этим свойством называется эффективной. На практике всем этим требованиям удается удовлетворить не всегда. Оценка для математического ожидания и дисперсии Имеется случайная величина Х с математическим ожиданием m и дисперсией D; оба параметра неизвестны. Над величиной Х произведено n независимых опытов, давших результаты: Имеющийся материал о случайной величине Х следует рассматривать как первичный статистический или выборочный. Числовыми характеристиками распределения, построенного по этому материалу являются (как указывалось в 2.1.36) выборочное среднее Оценка для математического ожидания. В качестве оценки используем выборочное среднее (запись Предлагаемая оценка является: 1. Состоятельной, т.к. при 2. Несмещенной, т.к.: 3. Эффективной, т.к.: Если величина X распределена по нормальному закону, то Оценка для дисперсии. В качестве оценки используем выборочную дисперсию 1. Проверка состоятельности. 2. Проверка несмещенности. Математическое ожидание выборочной дисперсии определяется: Дисперсия не зависит от выбора начала координат. Выберем его в точке m. Тогда В результате: если имеется ограниченный статистический материал, содержащий значения Доверительный интервал. Доверительная вероятность. Ранее был рассмотрен вопрос об оценке неизвестного параметра а. Причем оценка была дана в виде некоторого значения Чтобы дать представление о точности и надежности оценки Пусть для параметра а получена из опыта несмещенная оценка Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене а на Равенство (**) означает, что с вероятностью b неизвестное значение параметра а попадает в интервал Рис. 2.16 Определим доверительные границы. Пусть для параметра а имеется несмещенная оценка Но закон распределения оценки Чтобы обойти это затруднение при нахождении доверительных границ вместо параметров закона распределения оценки В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале для математического ожидания. Пусть произведено n независимых опытов над случайной величиной X, характеристики которой – математическое ожидание m и дисперсия D – неизвестны. Для этих параметров получены оценки, и в частности для математического ожидания Требуется построить доверительный интервал При решении этой задачи воспользуемся тем, что величина Для определения Его решение
|