Задача 17 2 страница

Решение. Справедливо равенство: , т.е. с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр ; точность оценки .. Найдем . Из соотношения получим . По таблице значений функции находим .

Найдем точность оценки . Доверительный интервал таков: . При доверительный интервал имеет следующие доверительные границы: ;

.

Таким образом, значения неизвестного математического ожидания нормального распределения, согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству .

Задача 32. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

Решение. Обозначим через А событие – из третьей урны извлечен белый шар.

	6 - Ч 4 - Б		6 - Ч 4 - Б		6 - Ч 4 - Б

Б

Рассмотрим все возможные случаи извлечения шаров из урн: БББ, ББЧ, БЧБ, БЧЧ, ЧБЧ, ЧББ, ЧЧБ, ЧЧЧ. Из восьми возможных случаев, только четыре удовлетворяют условию, что из третьей урны извлечен белый шар. Введем обозначения

- из 1-ой урны извлечен белый шар;

- из 1-ой урны извлечен черный шар;

- из 2-ой урны извлечен белый шар;

- из 2-ой урны извлечен черный шар.

Поскольку в первой урне содержится всего 10 шаров, причем 4 из них белых, то вероятность события . Соответственно вероятность того, что из первой урны будет извлечен черный шар равна: Условная вероятность того, что из 2-ой урны будет извлечен белый шар, при условии, что из 1-ой урны был извлечен белый шар равна Условная вероятность того, что из 2-ой урны будет извлечен белый шар, при условии, что из 1-ой урны был извлечен черный шар равна: Вычислим условную вероятность события при условиях и : и

Вероятность того, что из 3-ой урны будет извлечен белый шар, при условии, что и из 1-ой и из 2-ой урн были извлечены белые шары равна: Вероятность события , при условиях , равна: Условная вероятность , с учетом того, что из 1-ой урны извлечен черный шар, а из 2-ой урны извлечен белый шар равна:

Вероятность события , при условиях , равна: Искомую вероятность того, что из третьей урны будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

Задача 33. Имеется три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 16, 6. Из наудачу взятой партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Затем из той же партии вторично наудачу извлекли деталь, также оказавшуюся стандартной. И, наконец, из той же партии в третий раз наудачу извлекли деталь, которая также оказалась стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из второй партии.

Решение. Обозначим через А событие – в каждом из трех испытаний была извлечена стандартная деталь. Можно сделать три предположения (гипотезы): - детали извлекались из первой партии, - детали извлекались из второй партии, - детали извлекались из третьей партии.

Детали извлекались из наудачу взятой партии, поэтому вероятности гипотез одинаковы:

Найдем условную вероятность , т.е. вероятность того, что из первой партии будут последовательно извлечены три стандартные детали. Это событие достоверно, так как в первой партии все детали стандартны, поэтому

Найдем условную вероятность , т.е. вероятность того, что из второй партии будут последовательно извлечены (без возращения) три стандартные детали:

Найдем условную вероятность , т.е. вероятность того, что из третьей партии будут последовательно извлечены (без возращения) три стандартные детали:

Искомая вероятность того, что три извлеченные стандартные детали взяты из второй партии, по формуле Бейеса равна

Задача 34. Случайная величина X задана функцией распределения F(x):

Требуется:

а) найти плотность распределения вероятностей;

б) построить графики интегральной и дифференциальной функций;

в) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;

г) определить вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале

Решение. а) Плотность распределения вероятностей равна первой производной от функции распределения:

б) Построим графики интегральной и дифференциальной функций:

в) Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Поскольку случайная величина X задана плотностью распределения в интервале , а вне этого интервала то воспользуемся следующей формулой

Подставив получим

Дисперсию случайной величины найдем по следующей формуле:

Подставляем известные нам данные и получаем

г) Определим вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу , определяется равенством

Таким образом

Задача 35. Дано статистическое распределение выборки

		14, 5		19, 5		24, 5

Требуется:

1. Найти методом произведений выборочные: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс.

2. Построить нормальную кривую.

3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания M(X), полагая, что X имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение и доверительная вероятность .

Решение. 1. Составим расчетную табл. 1. Для этого:

· запишем варианты в первый столбец;

· запишем частоты во второй столбец; сумму частот (200) по­местим в нижнюю клетку столбца;

· в качестве ложного нуля С выберем варианту (19, 5), которая имеет наибольшую частоту (в качестве С можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей ложный нуль, пишем 0; над нулем последовательно записываем -1, -2, -3, а под нулем 1, 2, 3;

· произведения частот на условные варианты запишем в четвертый столбец; сложив эти числа, их сумму (45) помещаем в нижнюю клетку четвертого столбца;

· произведения частот на квадраты условных вариант, т. е. запишем в пятый столбец (удобнее перемножить числа каждой строки третьего и четвертого столбцов: ∙ = ); сумму чисел столбца (351) помещаем в нижнюю клетку пятого столбца;

· Для заполнения столбца 6 удобно перемножить числа каждой строки третьего и пятого столбцов.

· Для заполнения столбца 7 удобно перемножить числа каждой строки третьего и шестого столбцов.

· Произведения запишем в восьмой контрольный столбец; сумму чисел столбца (4757) помещаем в нижнюю клетку восьмого столбца. Столбец 8 служит для контроля вычислений с помощью тождества

∑ = ∑ +4 ∑ +6 ∑ +4 ∑ + .

В итоге получим расчетную табл. 1.

Таблица 1

		-3	-12		-108
14, 5		-2	-34		-136
		-1	-33		-33
19, 5
24, 5
∑

Контроль: ∑ =4757,

∑ +4 ∑ +6 ∑ +4 ∑ + =1635+4∙ 159+6∙ 351+4∙ 45+200=4757.

Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычислений.

Вычислим условные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков:

= = =0, 225; = = =1, 755;

= = =0, 795; = = =8, 175.

Найдем шаг (разность между любыми двумя соседними вариантами):

h = 14, 5-12 = 2, 5.

Вычислим искомые выборочные среднюю и дисперсию, учитывая что ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту) С = 19, 5:

.

.

Найдем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:

,

Найдем асимметрию и эксцесс:

;

.

2. Для построения нормальной кривой найдем ординаты (выравнивающие частоты) теоретической кривой по формуле , где - сумма наблюдаемых частот (объем выборки), - разность между двумя соседними вариантами, и . Затем строим точки в прямоугольной системе координат и соединяем их плавной кривой. Все вычисления запишем в табл. 2.

Таблица 2

		-8, 0625	-2, 470	0, 019
14, 5		-5, 5625	-1, 704	0, 094
		-3, 0625	-0, 938	0, 257
19, 5		-0, 5625	-0, 172	0, 3932
		1, 9375	0, 594	0, 3352
24, 5		4, 4375	1, 360	0, 1582
		6, 9375	2, 126	0, 042

3. Требуется найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания M(X):

.

Все величины, кроме , известны. Найдем из соотношения

. По таблице значений функции находим . Подставляя =20, 0625, =3, 264, =200, вычислим =19, 61, =20, 51. Окончательно получим искомый доверительный интервал 19, 61< < 20, 51.

Задача 36. Найти: 1) выборочное уравнение прямой регрессии на ; 2) выборочное уравнение прямой регрессии на .

Построить диаграмму рассеивания и графики уравнений регрессии по данной корреляционной таблице:

Решение. Выберем “ложные” нули: . Запишем таблицу в условных вариантах.