Введение. Методические указания разработаны для студентов всех форм обучения, обучающихся по планам, утвержденным в 2006 году в соответствии с

Методические указания разработаны для студентов всех форм обучения, обучающихся по планам, утвержденным в 2006 году в соответствии с образовательно-профессиональной программой высшего образования для специальности 7.07010401 «Судовождение», утвержденной 10 марта 2010 года по профессиональному направлению 6.070104 " Морской и речной транспорт".

Эффективное управление современными крупнотоннажными промысловыми и транспортными судами возможно лишь специалистами, которые прошли хорошую морскую школу и в совершенстве владеют новейшими методами и средствами судовождения. Поэтому современный инженер-судоводитель должен владеть глубокими теоретическими знаниями в избранной специальности и иметь хорошую математическую подготовку.

Предмет “Математические основы судовождения” не исключает основные профилирующие дисциплины, а, наоборот, предполагает развитие и углубление излагаемых в нем вопросов на основе знаний практически всех специальных дисциплин. Современное судовождение немыслимо без знания основ теории вероятностей, поскольку особенности проявления случайных событий и величин являются основой практической работы судоводителя. Он должен владеть методикой обработки наблюдений с оценкой их точности. Более того, с появлением комплексных навигационных систем, необходимо знать методы приведения результатов измерений в формальное согласие, т.е. методы уравнивания измерений.

Широко применяемый в аналитических расчетах метод наименьших квадратов позволяет решать основную задачу судовождения - определение места судна аналитическим путем и с оценкой точности. Внедрение на судах вычислительной техники и автоматизированных средств судовождения требует от судоводителей глубоких знаний не только теории движения судна, но и математического описания этих процессов на поверхности земли, имеющей сложную форму.

Основной задачей курса является подготовка судоводителя к решению специальных задач судовождения на высоком теоретическом уровне с использованием достижений современной науки и вычислительной техники в соответствии с требованиями правила А-II/2 Кодекса ПДМНВ.

Раздел 1 Математическая обработка результатов наблюдений.

§1. Основы сферической тригонометрии.

Для решения многих задач судовождения используются формулы сферической тригонометрии. На основе таких формул составляются, например, уравнения изолиний и градиентов некоторых навигационных параметров; задачи на определение места судна; определяются величины углов и сторон параллактического треугольника с целью получения координат места судна и поправки компаса методами мореходной астрономии и многого другого.

Задачей сферической тригонометрии является установление зависимостей между сторонами и углами сферического треугольника. Сферический треугольник считается заданным, если известны какие-либо три его элемента. Под решением треугольника понимают определение неизвестных его элементов. В большинстве случаев решение выполняется по так называемым основным формулам, к которым относятся:

· формула (теорема) косинуса стороны;

· формула (теорема) косинуса угла;

· формула (теорема) синусов;

· формула котангенсов, называемая так же формулой четырёх рядом лежащих элементов;

· формула пяти элементов.

В некоторых случаях возникает необходимость использования дополнительных формул, к которым относятся:

· формулы полупериметра;

· формулы Деламбра-Гаусса;

· аналогии (пропорции) Непера.

Эти группы формул имеют некоторые преимущества:

1) логарифмируются, поэтому не требуют применения таблиц сумм и разностей;

2) искомые углы получаются по самым выгодным функциям – тангенсам, т.е. дают наименьшие ошибки при вычислении угла;

3) выбор четверти искомых углов происходит уже в решении, следовательно, отпадает необходимость анализа формулы на знаки.

Формула косинуса стороны (теорема косинусов): в сферическом треугольнике косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов этих сторон на косинус угла между ними.

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

Формула косинуса угла (теорема косинусов для полярного треугольника): в сферическом треугольнике косинус угла равен отрицательному произведению косинусов двух других углов плюс произведение синусов этих углов на косинус стороны между ними.

Формула косинуса угла связывает углы и одну из сторон сферического треугольника. Всего этих формул так же три:

cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos b

cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c

Формула котангенсов (формула четырёх рядом лежащих элементов): произведение котангенса крайнего угла на синус среднего угла равно произведению котангенса крайней стороны на синус средней стороны минус произведение косинусов средних элементов.

Формула связывает четыре элемента лежащих подряд.

ctg A sin B = ctg a sin c – cos c cos B

ctg B sin A = ctg b sin c – cos c cos A

ctg B sin C = ctg b sin a – cos a cos C

ctg C sin A = ctg c sin b – cos b cos A

ctg C sin B = ctg c sin a – cos a cos B

Формула синусов (теорема синусов): в сферическом треугольнике синусы сторон пропорциональны синусам противолежащих углов.

Аналогии Непера:

По аналогиям Непера в сочетании с теоремой синусов обычно производится решение двух типов задач на косоугольный сферический треугольник – когда известны две стороны и противолежащий одной из них угол, или два угла и противолежащая одному из них сторона. Как уже указывалось выше, применение этих типов формул позволяет отыскивать неизвестные элементы без применения логарифмов сумм и разностей. Однако применение только этих двух групп формул приводит к необходимости при расчёте некоторых неизвестных элементов использовать ранее найденные элементы.

1.1. Решение косоугольных сферических треугольников

При решении косоугольных сферических треугольников возникает 6 типовых случаев. В задачах типов 3, 4, 5 и 6 сочетание заданных и определяемых элементов следует понимать, как один из возможных случаев.

Таблица.1

При решении сферических треугольников следует применять следующий алгоритм:

1. выполнить схематический чертёж треугольника и пометить данные и искомые элементы;

2. воспользовавшись таблицей 1, подобрать необходимые формулы, связывающие три данных и каждый из искомых элементов;

3. упростить формулы и отделить тригонометрическую функцию неизвестной величины;

4. исследовать полученные формулы на знаки;

5. составить схему вычислений;

6. произвести вычисления с необходимой точностью.

7. произвести контроль вычислений (в качестве контрольной формулы обычно берётся теорема синусов).

Пример: Получить расчётные формулы для определения начального и конечного ортодромических курсов, а так же ортодромической дистанции для судна следующего из точки Т₁ с координатами j₁, l₁ в точку Т₂ с координатами j₂, l₂.

1. Выполняем схематический чертёж и помечаем известные и искомые элементы. Для ясности приведён полный чертеж земной сферы:

2. Подбираем расчётные формулы исходя из того, что известно две стороны и угол между ними:

Углы – теорема котангенсов, сторона – косинус стороны.

ctg C sin A = ctg c sin b – cos b cos A

ctg B sin A = ctg b sin c – cos c cos A

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

3. Преобразовываем формулы и заменяем условные обозначения:

ctg К_н = ctg(90° – j₂) sin (90° – j₁) сosecDl – cos (90° – j₁) ctg Dl

ctg(180°-К_к) = ctg(90° – j₁) sin(90° – j₂) сosecDl – cos(90° – j₂) ctgDl

cos D = cos(90° – j₁) cos(90° – j₂) + sin(90° – j₁) sin(90° – j₂) cosDl

Откуда окончательно имеем:

ctg К_н = tgj₂ cosj₁ сosec Dl – sinj₁ ctg Dl

ctgК_к = - tgj₁ cosj₂ сosecDl+ sin j₂ ctgDl

cos D = sin j₁ sin j₂ + cos j₁ cos j₂ cosDl

4. Вычисления производятся наиболее удобным способом.

1.2. Решение прямоугольных и четвертных сферических треугольников.

Прямоугольные и четвертные сферические треугольники являются частным случаем косоугольных сферических треугольников.

Прямоугольным сферическим треугольником называется такой сферический треугольник, у которого один из углов равен 90°.

Четвертным сферическим треугольником называется такой сферический треугольник, у которого одна из сторон равна 90°.

К этим треугольникам применимы все правила и алгоритмы решения косоугольных сферических треугольников.

Прямоугольные треугольники можно решать по основным формулам сферической тригонометрии. Так как один из углов равен 90°, формулы значительным образом упрощаются (sin(90°)=1, cos(90°)=0) и состоят, как правило, из двух множителей. Но более рационально производить решение по правилам Модюи-Непера, почти полностью исключающим промежуточные преобразования, а значит и ускоряющим решение

Правила Модюи-Непера формулируются следующим образом:

1) В прямоугольном сферическом треугольнике косинус любого среднего элемента равен произведению котангенсов крайних смежных с ним элементов.

2) Косинус отдельно лежащего элемента сферического треугольника равен произведению синусов двух не смежных с ним рядом лежащих элементов.

В обоих правилах принято, что катеты лежат рядом друг с другом и вместо катетов надо брать их дополнения до 90°.

При А=90°

cos a = ctg B ctg C

cos B = ctg a ctg (90° – c)

cos (90° – c) = sin C sin a

cos a = sin (90° – b) sin (90° – c)

Следовательно, в задаче на прямоугольный треугольник, надо задать два элемента и указать, какой угол равен 90°.

Четвертные сферические треугольники, как и прямоугольные можно решать по основным формулам сферической тригонометрии. Т.к. одна из сторон равна 90°, формулы значительным образом упрощаются (sin(90°)=1, cos(90°)=0) и состоят, как правило, из двух множителей.

§2. Математическая обработка статистических данных.

2.1. Обработка результатов равноточных измерений навигационных параметров.

Ошибки наблюдения и их классификация.

Все наблюдения навигационных параметров, да и не только их, сопровождаются ошибками. Судоводитель в своей работе обязан уметь обрабатывать различные параметры, содержащие ошибки.

Эти ошибки по своим свойствам и характеру можно разбить на три основные группы:

· систематические ошибки это ошибки, характер и причины, возникновения которых известны или предвидимы. Рациональной методикой измерений и определёнными способами обработки результатов, влияние этих ошибок можно не только ослабить, но и исключить.

· Случайные ошибки это ошибки, которые вызваны многообразными и противоречивыми причинами, не поддающимися учёту и существенно не связанные с производством наблюдений, а их величина и знак для каждого измерения свои.

· Промахи определяются как неверные наблюдения или просчёты выходящие за пределы точности данного ряда измерений. Промахи из дальнейшей обработки исключаются.

Обработка наблюдений содержащих систематические ошибки будет рассмотрена в дальнейших работах.

Экспериментально установлено, что почти всегда случайным ошибкам измерения присущи следующие свойства:

1) среднее значение случайных ошибок близко к нулю;

2) вероятность появления ошибок равных по значению, но противоположных по знаку, одинакова;

3) численно небольшие ошибки более вероятны, чем численно большие;

4) случайные ошибки не могут превзойти некоторых границ, связанных с точностью производимых измерений;

5) внутри этих границ случайные ошибки могут принимать любые значения в соответствии с пп. 2 и 3.

Вероятнейшее значение измеренной величины и оценка его точности.

Для того, что бы уменьшить влияние случайной ошибки, производится некоторое количество n измерений навигационного параметра a.

Предположим, что все наблюдения производились одним наблюдателем, в одинаковых условиях, одним прибором, настройка которого не менялась в процессе наблюдений, такие наблюдения принято называть равноточными или равновесными.

В результате таких наблюдений мы получим n близких к истинному a_ист значений а ₁, a₂...a_n, каждое из которых содержит некоторую ошибку. Так как a_ист нам не известно, то и точное значение этих ошибок нам так же неизвестно.

Очевидно, что наиболее близким т.е. вероятнейшим значением a_вер к истинному значению a_ист будет среднее арифметическое ряда равновесных измерений свободных от систематических ошибок:

Необходимо понимать, что формула (1.8) соответствует фактической мере точности измерений h. Поэтому, если, например, измерения выполняют линейкой разбитой на миллиметры, то ни увеличением числа измерений, ни увеличением числа знаков при вычислениях, ни колдовством нельзя получить результат с точностью, скажем, до 0, 01 мм.

Мы уже говорили о том, что каждое из измерений содержало ошибку. Критерием точности единичного измерения на практике чаще всего применяют среднюю квадратичную погрешность m, вычисляемую по формуле

где, v_i уклонения отдельных измерений a_i от a_вер: v_i= a_вер – a_i, соответственно [vv] – сумма квадратов отклонений.

В случае, когда истинное значение параметра a_ист известно, СКП рассчитывается по формуле:

где, x_i ошибки отдельных измерений a_i: x_i= a_ист – a_i, соответственно [xx] – сумма квадратов ошибок.

Критерий точности единичного измерения СКП m даёт нам вероятность случайной ошибки x в границах от –m до m примерно 68.3%.

m_пред=3m

называемая предельной ошибкой одного измерения, накрывающая ошибки измерений с вероятностью 99.7%. Измерение у которых уклонения v превышают m_пред, объявляются промахами и из обработки исключаются.

Способ определения СКП одного (любого) измерения по формулам (1.9), (10) называется методом внутренней сходимости.

m = k_nR,

где R – размах, т.е. разность между максимальным и минимальным значением измеряемой величины

R=a_max – a_min

k_n – коэффициент, который зависит от числа измерений в серии, его значения приводятся в таблице 2.

Таблица 2.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что средняя квадратичная погрешность характеризует точность отдельного измерения, в дальнейшую же обработку должна идти величина характеризующая точность вероятнейшего значения a_вер.

m_0пред=3m₀

Из формулы (1.13) видно, что с увеличением числа измерений в n раз значение СКП вероятнейшего значения m₀ уменьшается лишь в раз, поэтому нет смысла для повышения точности вероятнейшего значения чрезмерно увеличивать число наблюдений. Следует повышать качество самих измерений. Оптимальное число измерений 7-9, хотя это и не всегда удаётся.

Разберём всё вышесказанное на примере.

Пример

Получена серия из 9 измерений секстаном горизонтального угла.

ОС 36°18, 7′ 36°18, 3′ 36°16, 8′ 36°19, 4′ 36°17, 6′ 36°18, 2′ 36°19, 7′ 36°16, 0′ 36°16, 9′

Рассчитать:

· вероятнейшее значение горизонтального угла;

· СКП одного (любого) измерения двумя способами;

· предельную погрешность одного измерения;

· СКП вероятнейшего значения;

· предельную погрешность вероятнейшего значения

1. Составляем расчётную таблицу, в первой колонке которой серия измерений, во второй уклонения, в третьей квадраты уклонений.

В первой колонке рассчитываем вероятнейшее значение горизонтального угла, в последней сумму квадратов уклонений.

2. Рассчитываем СКП и предельную погрешность одного измерения:

методом внутренней сходимости по формуле (1.9):

m_пред = 3m = 3.6′

методом размаха:

ОС_max =36°19, 7′

ОС_min =36°16, 8′

R = 2, 9′

k_n = 0.337

m = k_nR = ±1, 1 ′

3. Рассчитываем СКП и предельную погрешность вероятнейшего значения по формулам (1.13), (1.14):

m_0пред= 3*0, 4′ = ±1, 2′

Контролем результата служит равенство нулю суммы отклонений v.

Все задания выполнены.

2.2. Средняя квадратичная погрешность функции измеренных величин.

В практике часто бывают случаи, когда измеренные параметры входят в какую-либо расчётную формулу, причём зачастую сразу несколько параметров. Встаёт вопрос, каким образом определить СКП результата.

Предположим, что какая-либо величина z является функцией некоторого количества различных навигационных параметров x₁, x₂, …x_n,

z=f(x₁, x₂, …x_n);

каждый, из которых имеет среднюю квадратичную погрешность m_xi, тогда формула для расчёта m_z будет иметь вид:

В общем случае по формуле (1.15) рекомендуется следующий порядок расчётов:

1. Рассчитывают по исходной формуле значение определяемой величины.

2. Рассчитывают частные производные по переменным (измеренным) величинам.

3. Преобразовывают общую формулу СКП для конкретного случая.

4. В рабочую формулу подставляют исходные значения и рассчитывают СКП m_z.

2.3. Обработка серии измерений навигационных параметров изменяющих своё значение с течением времени.

Большинство измерений навигационных параметров судоводитель производит с движущегося судна в течение некоторого промежутка времени. За это время, судно успевает изменить своё положение относительно измеряемого объекта. То есть каждое последующее измерение, должно отличаться от предыдущего. Если характер изменения навигационного параметра близок к линейному, а промежуток времени между измерениями небольшой, то на вероятнейшем значении измеряемой величины это практически не скажется (значения большие и меньшие средней величины взаимокомпенсируются), а вот на значении СКП измеряемой величины это движение отразится в значительно большей степени.

Один из наиболее характерных случаев – измерение высоты светила навигационным секстаном с движущегося судна. При движении судна, как мы уже говорили, наблюдатель меняет своё положение относительно объекта наблюдения, т.е. в данном случае изменяется зенит наблюдателя, помимо этого в промежуток времени между наблюдениями светило меняет своё положение на небесной сфере.

Для приведения измеренных высот к одному моменту служит поправка Dh_T. Рассчитывается поправка следующим образом:

· в таблице 17 МТ-75 (таблица 15-б МТ-63) выбирается поправка Dh_T¹⁰ – изменение высоты светила за 10 секунд или в таблицах МТ-63 таблица 15-а поправка Dh_T¹ – изменение высоты светила за 1 минуту. Вход в таблицы по широте j и азимуту на светило А.

· если светило находится в восточной части горизонта - поправка положительна, в западной – отрицательна.

· Умножив Dh_T¹ на прошедшее время в минутах DT^м получим Dh_T

Dh_T=D T^м Dh_T¹

Для приведения измеренных высот к одному зениту служит поправка Dh_z. Рассчитывается поправка следующим образом:

· В таблице 16 МТ-75 (МТ-63) выбирается поправка Dh_z – изменение высоты светила за 1 минуту плавания. Вход в таблицу по скорости V и курсовому углу светила (КУ = А – ПУ). Если КУ< 90° поправка положительна, КУ> 90° отрицательна. Если нет дрейфа и течения, вместо ПУ берётся ИК.

· Умножив Dh_z¹ на прошедшее время в минутах DT^м получим Dh_z

Dh_z=D T^м Dh_z¹

Совместная поправка Dh = Dh_T + Dh_z или Dh = DT^м(Dh_T¹ + Dh_z¹).

При этом Dh_T¹ = 6*Dh_T¹⁰.

Работа с поправкой Dh_T¹⁰ возможна и в секундах. В этом случае, получаем временной коэффициент делением времени выраженного в секундах на десять. Поправка, выраженная в секундах, получается умножением Dh_T¹⁰ на полученный коэффициент:

2.4. Определение с заданной надёжностью доверительных оценок измеряемой величины и её СКП.

Хотим подчеркнуть, что методика обработки измерений описанная в предыдущих параграфах, не совсем обоснована, т.к. формулы (1.9)-(1.14) выведены в предположении, что число измерений n очень велико. В частности при расчёте предельного значения мы априори брали коэффициент равный 3 и получали вероятность P=0.997, что верно только при n→ ∞. На практике же это число конечно и весьма ограничено. Поэтому возникает важная задача оценки точности величин a_вер, m, m₀ при конечном и ограниченном числе n.

Другими словами требуется установить вероятность P=a того, что при заданном конечном числе измерений n неизвестное значение a_ист заключено в границах a_вер – m_0пред до a_вер + m_0пред. Эти границы называют доверительными, а интервал a_вер ± m_0пред доверительным интервалом с заданной надёжностью a = P. Таким образом, нам известны n, a_вер и задано m_0пред. Найти: a.

Обратная задача формулируется следующим образом: каким при заданном числе измерений n должен быть доверительный интервал, для того, чтобы с заданной надёжностью a можно было утверждать, что неизвестная величина a_ист не выйдет за границы доверительного интервала:

a_вер – m_0пред < a_ист < a_вер + m_0пред

То есть, нам известны n, a_вер и задано a. Найти: m_0пред

Решение этой задачи в обоих постановках достигается при помощи распределения Стьюдента. Оно учитывает ограниченность числа измерений n и при условии n→ ∞ переходит в нормальное распределение. На его основе составлена Таблица 3. связывающая число наблюдений n, надёжность a и коэффициент , выносимый в формулу (1.11). В этом случае формула (11) приобретает вид: m_0пред = t m₀

Таблица 3. Значения коэффициента t по заданным n и a.

Примерно также решается вопрос и об оценке точности определения СКП единичного измерения, если число измерений конечно и ограничено.

На основе распределения Пирсона с заданной надёжностью a утверждается, что истинное значение СКП единичного измерения m_ист отличается от вычисленного не более чем на величину e.

На основе этого распределения составлена Таблица., связывающая число наблюдений n, надёжность a и коэффициент . То есть выбрав из таблицы 4 коэффициент t и рассчитав величину e=t∙ m c надёжностью a можно утверждать, что m – e < m_ист< m + e.

Или наоборот, зная величину e можно определить надёжность a.

Таблица.4. Значения коэффициента t по заданным n и  a.

Пример 1

В широте j = 36.5°N судно следует ИК = 114° со скоростью V = 16 уз. Измерена серия 7 высот светила, азимут которого А=60, 7° SO^st.

Моменты наблюдения T_i и отсчёты секстана ОС_i приведены в таблице.

Задание:

1. привести ОС_i к одному зениту и моменту времени.

Рассчитать:

2. вероятнейшее значение высоты светила;

3. СКП единичного измерения двумя способами;

4. предельную погрешность единичного измерения;

5. доверительный интервал накрывающий истинное значение СКП единичного значения с надёжностью (вероятностью) 0, 90.

6. надёжность a определения СКП для доверительного интервала в 0, 5 единицу измеряемого параметра (±0, 5′)

7. СКП вероятнейшего значения;

8. предельную погрешность вероятнейшего значения измеренной величины и доверительный интервал накрывающий истинное значение измеряемой величины с надежностью (вероятностью) 0, 95.

9. надёжность a для доверительного интервала в одну единицу измеряемого параметра (±1′).

Решение:

· Составляем расчётную таблицу, в первую колонку вносим моменты наблюдений, в пятую отсчёты секстанов.

· Выбираем момент времени T₀ к которому будем приводить все измерения серии, чаще всего это или средний, или последний момент. Возьмём средний момент времени, в нашем случае четвёртый, т.е. T₀ = T₄.

· Рассчитываем промежутки времени DT_i между T₀ и текущим моментом T_i, DT_i = T₀ – T_i и вносим результаты во вторую колонку. В третью колонку внесём те же промежутки DT_i, но секунды выразим в десятых долях минуты.

· Рассчитаем поправки для приведения высоты светила к одному моменту и к одному зениту:

из таблицы 17 МТ-75 по широте j и азимуту на светило А

Dh_T¹⁰ = +1, 75′; Dh_T¹ = 6*1, 75′ =10, 50′.

Из таблицы 16 МТ-75(63) по скорости V = 16 уз и КУ=119, 3° – 114° =5, 3°

Dh_z¹ = +0, 27.

Рассчитываем совместную поправку за 1 минуту:

Dh¹ = Dh_z¹+ Dh_T¹=10, 77

· Рассчитываем произведения Dh_i= DT_i Dh¹, результаты вносим в четвёртую колонку.

· В шестой колонке рассчитываем приведенные отсчёты секстана

ОС_{пр i}=Dh_i+OC_i

· Находим вероятнейшее значение ОС на T₀ (четвёртый момент времени) – внизу колонки среднее арифметическое от ОС_{пр I}.

· Рассчитываем СКП:

(методом внутренней сходимости)

В последние две колонки вносим уклонения v_i и квадраты уклонений v_i² соответственно. Внизу колонок находим сумму уклонений и сумму квадратов уклонений.

(методом размаха)

ОС_max =30°13.2′

ОС_min =30°11.5′

R = 1.7′

k_n = 0.370

m = k_nR = ±0.63 ′

Предельная погрешность единичного измерения m_пред = 3m = 2.0′

· Находим доверительный интервал единичного измерения,

по известному количеству наблюдений n = 7 и заданному в условии a = 0, 90 из Таблица. находим значение коэффициента t = 0, 65.

Рассчитываем e= t ∙ m = 0.65∙ 0.66′ = 0.44′

Находим m-e=0, 22 и m+e=1, 1 следовательно 0, 22≤ m_ист≤ 1.1.

· Рассчитываем надёжность a для заданного доверительного интервала m±e в примере e= 0.5′.

находим t=e/m = 0.75

обратным входом в Таблица. по n=7 измерениям и по известному t=0.75 получаем надёжность a > 0.9.

· Рассчитываем СКП вероятнейшего значения:

· Находим предельную погрешность вероятнейшего значения и доверительный интервал:

по известному количеству наблюдений n = 7 и заданному в условии a = 0, 95 из Таблицы 3 находим значение коэффициента t = 2.45.

m_0пред=tm₀=2, 45∙ 0.25′ 0.6 ′ следовательно 30°11, 8′ ≤ ОС_ист≤ 30°13, 0′.

· Рассчитываем надёжность a для заданного m_0пред=±1′

рассчитываем t= m_0пред/m₀=4

для чего, обратным входом в Таблицу 3 по n=7 измерениям и по найденному t получаем надёжность a > 0.99

2.5. Обработка результатов неравноточных измерений навигационных параметров.

Ходовой мостик современного судна оснащён различными по принципу действия техническими средствами. Этим обеспечивается возможность измерения одного и того же навигационного параметра с помощью нескольких приборов. Нередко один и тот же параметр измеряется хоть и одним прибором, но в различных условиях или различными людьми. Во всех таких случаях точность результатов будет неодинаковой, такие измерения называют неравноточными или неравновесными. Для сравнения неравноточных измерений пользуются величинами называемыми весами.

Вес p характеризует степень доверия к данному измерению (серии измерений) по сравнению с другими измерениями (сериями). Например, степень доверия к измерениям выполненным старым морским волком, поросшим в нижней части ракушками, будет значительно выше, чем к измерениям, сделанным ленивым студентом КМТИ.

Вес p, взятый отдельно, без сопоставления с весами других измерений не несёт никакой информации. Он является сравнительной характеристикой качества наблюдений, и его следует рассматривать совместно с весами других наблюдений.

Принципы, по которым отдельным измерениям приписывают веса, могут быть различными. Например, если результаты измерений a_i характеризуются своими значениями СКП m_i, то этим измерениям присваивают веса p_i, обратно пропорциональные квадратам их СКП:

Веса, вычисленные по формуле (1.16) называют абсолютными.

Как уже говорилось, вес измерения рассматривается совместно с весами других измерений, следовательно, веса, можно умножать на любой коэффициент, естественно коэффициент должен быть одинаков для всей серии, в этом случае соотношение весов не изменяется, а вес называется относительным.

хотя и нередко наоборот, что бы наибольший вес был равен единице (в этом случае все веса делят на наибольший вес)

p_i= n_i,

хотя этот принцип менее обоснован, чем предыдущий.

Предположим, что в результате измерений некоторого навигационного параметра получен ряд значений а ₁, a₂...a_n с весами p₁, p₂… p_n. За вероятнейшее значение ряда неравновесных измерений принимается весовое среднее или весовая арифметическая середина:

При неравноточных измерениях критерием точности служит СКП m, того измерения, вес которого принят за единицу. Эта погрешность называется СКП единицы веса. Вычисляется СКП единицы веса по формуле подобной (1.9) и является её обобщением:

В случае если a_ист известно:

СКП mp_i отдельного измерения a_i имеющего вес p_i, вычисляется по формуле:

В конце концов наибольший интерес представляет формула для СКП весового среднего a_вер, являющаяся венцом обработки ряда неравновесных измерений:

Предельная СКП mp_пред весового среднего вычисляется по формуле:

и mp_пред = t m₀ p,

для случая с ограниченным числом наблюдений, где t коэффициент выбираемый из Таблицы 3. Методика обработки при помощи доверительных оценок подробно разбиралась в предыдущем параграфе.

Пример 2

Дано: серия из шести пеленгов ИП измеренных с разной точностью и соответствующие им СКП.

Найти:

1. Веса каждого измерения.

2. Вероятнейшее значение измеренного параметра.

3. СКП единицы веса.

4. СКП вероятнейшего значения и оценить его доверительной оценкой с надёжностью 0.99.

Решение:

1. Составляем расчётную таблицу:

· в первую колонку вносим серию измерений;

· во второй колонке рассчитываем веса измерений по формуле (1.18), за коэффициент k принимаем квадрат значения наибольшего СКП mип_max=1.2° (третье измерение) k=(1.2)²=1.44

и находим сумму весов [p]=21

· в третьей колонке рассчитываем произведения квадратов уклонений v² на соответствующие веса и находим сумму этих произведений [pvv]=1.93;

· Рассчитываем вероятнейшее значение по формуле (1.20).

2. Рассчитываем СКП единицы веса по формуле (1.21):

3. Рассчитываем СКП и предельную погрешность вероятнейшего значения с заданной надёжностью по формулам (1.24) и (1.25):

при a = 0, 99, по таблице 3 t=4.03

m_0пред= 4.03*0.01′ = ±0.04°

Истинное значение ИП_ист находится в интервале от 315, 76° до 315, 84°.

2.6. Обработка статистических данных методами линейной корреляции.

Предположим, что мы произвели одновременные измерения двух серий величин x и y. Разумеется, эти измерения были подвержены влиянию случайных ошибок. Как уже говорилось выше, причины возникновения случайных ошибок многочисленны и практически не поддаются учёту. Среди них могут быть ошибки, выражающие некоторую неизвестную нам закономерность, или ошибки, одновременно влияющие на обе величины. То есть эти серии измерений уже нельзя считать независимыми друг от друга. С другой стороны, сказать, что они связаны жёсткой функциональной зависимостью вида y=ax+b, тоже нельзя. В нашем случае взаимосвязь является статистической, т.е. при изменении величины x величина y имеет тенденцию также изменяться.

Эта тенденция соблюдается лишь в большей или меньшей степени, а в каждом конкретном случае возможны отклонения от неё. Зависимость в таких случаях называется корреляционной и характеризуется коэффициентом корреляции r (-1 ≤ r ≤ 1). Если r> 0, то большим значениям x в среднем соответствуют большие значения y и наоборот. Чаще всего эта тенденция носит линейный характер. Если r=±1, то зависимость становится функциональной. При r< |0.2| можно считать, что величины не коррелированны.

Стоит заметить, что разговор в этой главе идет о наиболее частом случае корреляции – линейной корреляции. В случае корреляционной зависимости более высоких порядков (гиперболическая, параболическая) зависимости для коэффициента линейной корреляции могу не выполняться, а сам коэффициент рассчитывается более сложным образом.

Численное значение коэффициента r можно найти из специально организованных наблюдений. В штурманской практике нередко возникает необходимость учёта корреляционной зависимости при решении ряда навигационных задач, в первую очередь в вопросах оценки точности обсервации.

Для определения коэффициента корреляции необходимо измерить при более или менее идентичных условиях n парных значений двух навигационных параметров x_i и y_i (например, два пеленга береговых ориентиров). После определённой статистической обработки данных коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

где v_xi и v_yi уклонения величин x_i и y_i от вероятнейших значений соответственно.

Сама зависимость будет задаваться уравнением линейной регрессии:

где и вероятнейшие значения измеряемых величин.

Смысл уравнения линейной регрессии можно выразить так, каждому значению x_i с наибольшей вероятностью будет соответствовать значение y_xi.

Теперь обратимся к такому важному случаю, когда некоторая искомая величина a определяется, как функция непосредственно измеряемых величин x, y: a=f(x, y).

Предположим, что величины x, y коррелированы, т.е. если налицо взаимная зависимость случайных ошибок в аргументах x и y, в этом случае, СКП величины a определяется следующим образом:

В случае отсутствия корреляционной связи между величинами x и y, формула (1.30) примет вид (1.15).

Пример: Дано: две серии пеленгов ИП₁, ИП₂.

Найти:

1. вероятнейшие значения измеренных величин;

2. коэффициент корреляции между пеленгами;

3. составить уравнение линейной регрессии, построить график;

4. СКП каждого навигационного параметра;

5. рассчитать вероятнейшее значение горизонтального угла a;

6. рассчитать СКП вероятнейшего значения горизонтального угла a.

Решение:

1. Составляем расчётную таблицу:

1. во вторую и восьмую колонку вводим ИП2 и ИП1 соответственно и рассчитываем вероятнейшее значение (среднее арифметическое) каждой величины;

2. в третьей и седьмой колонках рассчитываем соответствующие уклонения вышеперечисленных величин;

3. в четвёртой и шестой колонках квадраты уклонений;

4. в пятой их произведения;

5. внизу 4 – 6 колонок находим их суммы.

n	ИП2	vип2	v2ип2	vип2*vип1	v2ип1	vип1	ИП1
	81.0	1.4	2.0	11.2	63.6	8.0	30.8
	78.8	3.6	13.0	14.0	15.0	3.9	34.9
	78.2	4.2	17.6	9.6	5.2	2.3	36.5
	85.0	-2.6	6.8	1.1	0.2	-0.4	39.2
	80.6	1.8	3.2	-0.2	0.0	-0.1	38.9
	84.4	-2.0	4.0	2.4	1.5	-1.2	40.0
	83.5	-1.1	1.2	7.7	49.4	-7.0	45.8
	87.7	-5.3	28.1	28.2	28.4	-5.3	44.1
	82.4	S	75.86	73.95	163.2		38.8

2. По формуле (1.28) находим коэффициент корреляции:

3. Составляем уравнение линейной регрессии

ИП1
30.8	79.9
34.9	81.2
36.5	81.7
39.2	82.5
38.9	82.4
40.0	82.8
45.8	84.6
44.1	84.0

Строим зависимость от ИП₁

4. По формуле (1.9) рассчитываем СКП единичных значений

;

и формуле (13) СКП вероятнейших значений пеленгов.

5. Рассчитываем значение горизонтального угла a.

6. Рассчитываем СКП горизонтального угла a

6. без учёта корреляционной зависимости по формуле (1.15);

Находим частные производные пеленгов:

;

7. и с учётом корреляционной зависимости по формуле (1.29)

Как видим, учёт корреляционной зависимости даёт нам меньшее значение погрешности.

§3. Размеры и форма Земли.

Земля представляет собой уникальное материальное тело, не имеющее аналогов в природе. Для удобства использования её поверхности и недр фигуру Земли представляют в виде некоторых известных геометрических тел (шар эллипсоид вращения, геоид, апиоид). В зависимости от формы определяются размеры Земли.

При изображении Земли в виде шара учитывают, что объемы эллипсоида и шара должны быть одинаковы, тогда радиус Земли R=6371, 1 км.

При этом приняты a и b эллипсоида Красовского.

Точные размеры основных параметров эллипсоида проводились в течение последних двух столетий. В зависимости от мест измерения получены различные эллипсоиды, имеющие следующие параметры

Таблица 6.