Прямоугольные координаты точки на сфере

Если задано сечение сфероида по меридиану, то положение точек на этом сечении можно определить плоскими прямоугольными координатами x и y, по формулам:

; примем , тогда

j – географическая широта

а – большая полуось, для эллипсоида Красовского а =6378245м

r – радиус параллели заданной широты j;

e² – квадрат первого эксцентриситета, для эллипсоида Красовского e²=0, 0066934.

Проведём через произвольную точку эллипсоида две взаимно перпендикулярные плоскости – одну совпадающую с плоскостью меридиана и другую с плоскостью первого вертикала. В результате пересечения этих плоскостей с поверхностью эллипсоида, получим два главных нормальных сечения в виде эллипсов. Первое называется меридианным, второе – сечением первого вертикала или нормальным сечением. Радиусы кривизны этих сечений называют главными радиусами кривизны. Радиус кривизны меридионального сечения обозначим N, нормального сечения – M.

;

Средний радиус кривизны

Зная М, можно вычислить длину одной минуты дуги меридиана, которая используется для измерения расстояний и называется морской милей.

DS=MDj

Если Dj=arc1’=1/3438

Величина М зависит от j и параметров a и е для эллипсоида Красовского с учетом формулы М, получим:

Стандартная морская миля равна 1852 м.

Длина дуги параллели, соответствующая определенной Dl, называется отшествие. Рассчитывается с учетом её радиуса r=x и Dl

, где

g - сферическое схождение меридианов;

j_ср – средняя широта;

§4. Системы координат

4.1. Географические координаты.

Для определения положения точки на поверхности Земного сфероида применяют географическую систему координат. В этой системе используют следующие понятия:

Земная ось, это воображаемая линия, вокруг которой происходит вращение Земли. Земная ось пронизывает сфероид в двух точках, называемых географическими полюсами.

Северный полюс, это точка, откуда вращение Земли усматривается против часовой стрелки и обозначается Р_N.

Южный полюс, это антипод северного полюса и обозначается Р_S. Такие географические полюса называют еще истинными.

При пересечении сфероида плоскостями перпендикулярными оси вращения, на его поверхности образуются малые круги называемые параллелями. Если такая плоскость проходит через цент Земли, то ее след на поверхности сфероида образует большой круг называемый экватором.

Следы от пересечения земного сфероида плоскостями, проходящими через ось вращения Земли, называют географическим меридианами или истинными меридианами. В соответствии с решением Международной меридианной конференции (Вашингтон 1884г.) в качестве нулевого (начального) установили меридиан, проходящий через Гринвическую обсерваторию (ее пассажный прибор) вблизи Лондона. Он получил название нулевого или гринвического меридиана. Меридиан, проходящий через точку наблюдения, называется истинным меридианом наблюдателя.

Географической широтой (j) некоторой точки на поверхности земного сфероида называется угол между плоскостью экватора и нормалью к этой поверхности. Широта измеряется дугой меридиана от экватора до параллели точки. Плоскость экватора делит Землю на два полушария – северное и южное. Счет географических широт ведется от экватора к северу (N) или югу (S) от 0° до 90°. В алгеброических расчетах они имеют знаки (+) северная и (-) южная широта.

Географической долготой (l) некоторой точки на поверхности сфероида называется двугранный угол между плоскостью начального (нулевого) меридиана и плоскостью меридиана данной точки. Плоскость нулевого (Гринвического) меридиана делит Землю на восточное и западное полушария. Долгота измеряется наименьшей дугой экватора от начального меридиана до меридиана точки. Пределы измерения долгот от 0° до 180°. Долгота имеет наименование и знак: восточная (+), если она измерялась к востоку от начального меридиана, и западная (-), если она измерялась к западу от начального меридиана.

Расчетная формула будет: РШ (Dj) = j₂ - j₁.

Разность долгот (Dl) это наименьшая из дуг экватора, заключенная между меридианами точки отхода (l₁) и точки прихода (l₂). Пределы изменения разности долгот от 0° 180° и, если плавание осуществлялось в сторону востока (Е), то она имеет знак (+), если же в сторону запада (W), то у нее знак (-).

Расчетная формула будет: РД (Dl) = l₂ - l₁.

Формулы расчетов РШ и РД определяют не только их величины, но и наименование или знак (+; -).

4.2. Деление горизонта

Счет направлений в море относительно истинного меридиана является основополагающим. Предположим что наблюдатель находится в некоторой точке А на поверхности Земли. Проведем мысленно плоскость (Н) перпендикулярную отвесной линии в данной точке. Это плоскость называется плоскостью истинного горизонта. Представим, что через точку А проходит другая, уже упоминавшаяся плоскость истинного меридиана (М). Эта плоскость называется плоскостью истинного меридиана наблюдателя (точка А) и в пересечении с плоскостью истинного горизонта образует линию истинного меридиана наблюдателя. Плоскость, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости истинного меридиана называется плоскостью первого вертикала (V), в пересечении с плоскостью истинного горизонта образует линию перпендикулярную линии истинного меридиана. Линия истинного меридиана является полуденной линией и определяет направление на северный и южный полюса (N – S). Линия, перпендикулярная линии истинного меридиана, дает направление E – W. Эти линии (N-S и E-W) в любой точке земной поверхности (кроме полюсов) занимают строго определенное положение и служат для ориентирования.

Направления N, S, E, W называются главными направлениями или главными румбами и делят плоскость истинного горизонта на четыре четверти (NO, SO, SW, NW). Направление, делящее каждую четверть пополам, называются четвертными румбами и имеют обозначение, соответствующее названию четверти (NO, SO, SW, NS).

В зависимости от конкретных задач судовождения применяются следующие системы счета направлений:

В круговой системе счета плоскость истинного горизонта делится на 360 градусов, причем за начало принято направление на север (норд истинный) и счет ведется от истинного меридиана по направлению движения часовой стрелки (от 0° до 360°). При этом направление на восток будет Е = 90°, на юг S = 180°, на запад W = 270° и на север N = 360° (0°).

В полукруговой системе счет направлений ведут от главных румбов N

или S в сторону востока Е или запада W от 0° до 180° (N 120 O; S 120 O; S 60 O; S 60 W).

В четвертной системе счет направлений ведут от главных румбов N или S в каждой четверти от 0° до 90°, присваивая обозначение наименований четверти (NO 30; SO 30; SW 50; NW 50).

§5. Построение промыслово-навигационного планшета в меркаторской проекции.

Все промыслово-навигационные планшеты строят в меркарторской проекции; за главную параллель принимают среднюю параллель изображаемого района.

При построении планшета может быть поставлена одна из двух задач:

· построить планшет в заданном масштабе данного района, границы которого определены приближенно;

· построить планшет определенного района, ограниченного заданными параллелями и меридианами, и вычислить масштаб данного планшета.

Для того, что бы получить единые меры длинны для горизонтальной и вертикальной рамок карты, нам необходимо вычислять меридиональные части, выраженные в экваториальных милях.

Длинна изображения одной экваториальной мили на меркарторской карте, выраженная в линейных мерах называется единицей карты.

Единица карты зависит от масштаба карты, который может быть отнесён к любой параллели, носящей название главной параллели.

Обозначив 1: Сэ главный масштаб по экватору, единицу карты можно рассчитать по следующей формуле:

1: С₀ – масштаб по главной параллели.

Иначе единицу карты можно найти из следующей формулы:

u – приведенная широта.

Впрочем, если имеются картографические таблицы, то единицу карты можно рассчитать значительно проще, воспользовавшись т.4 или т.2.

Если при построении планшета масштаб определяется тем условием, чтобы на него поместился заданный район, то единицу карты можно получить, разделив длину горизонтальной рамки карты на долготу, выраженную в минутах.

Порядок решения.

1. Вычисляют единицу карты е.

2. Рассчитывают размеры рамки планшета:

Горизонтальный размер

b = e (l₂ - l₁)

Вертикальный размер

a = e DD, где

DD – разность меридиональных частей между крайними параллелями, выбирается из т.26 МТ-63.

3. Наносят рамку планшета на лист бумаги.

4. Рассчитывают расстояния в миллиметрах промежуточных параллелей:

y_i = e (D_i – D_S) или y_i = e (D_N – D_i).

Эти вычисления удобно свести в таблицу вида:

5. Рассчитывают расстояния промежуточных меридианов от западной рамки планшета:

x_i = e (l_W – l_i) или x_i = e (l_i – l_E)

При условии, что расстояние между параллелями одинаково, достаточно его рассчитать один раз.

6. Наносят на планшет параллели и меридианы.

Пример. Рассчитать рамку и картографическую сетку промыслово-навигационного планшета.

jN=	70°	10' N		lW=	29°	15'	E
jS=	68°	40' N		lE=	26°	30'	E
C=
Dj=	10'			Dl=	20'
j0=	70°	00' N
1.Рассчитываем единицу карты:
e2=	0, 0066934
a=	6378245000 мм
						6, 4	мм
2.Рассчитываем длину а горизонтальной рамки карты.
a = e(lOst -lW)=	1050, 8	мм
3.Рассчитываем расстояние между заданными меридианами
ai = e(li -lW)
li = 28°55' E	Dl=20;	ai = 127 мм
4.Рассчитываем длину b вертикальной рамки карты.
Меридиональные части
DN=	5973, 6
DS=	5717, 7
b = e(DN -DS)=	1629, 5	мм
5.Рассчитываем расстояния от заданных параллелей до рамок карты
bi = e(Di -DS)
ji		Di	DD	bi мм
		N	5944, 3	29, 3
		N	5915, 2	29, 1
		N	5886, 3	28, 9
		N	5857, 6	28, 7
		N	5829, 2	28, 4
		N	5801, 0	28, 2
		N	5773, 0	28, 0
		N	5745, 2	27, 8
		N	5717, 6	27, 6
7.Частный масштаб по параллели j1
		1, 0
Ci=C/n=

§6. Способы определение места судна.

Во время перехода судоводитель постоянно должен знать местоположение судна, т.е. значение координат широты j и долготы l, эта задача решается ведением счисления и постоянным уточнением места обсервациями.

Геометрические величины, получаемые из наблюдения внешних объектов для определения места судна, называют навигационными параметрами.

Совокупность точек, в которых навигационный параметр сохраняет своё значение постоянным, называется изолинией U навигационного параметра. Изолиния навигационного параметра является функцией координат:

U = f(j, l) = const.

Для определения места судна необходимо получить, как минимум два навигационных параметра.

Основными методами определения места судна являются – метод изолиний и обобщённый метод линий положения (ЛП).

Методом изолиний место судна можно определять, как графически, так и аналитически.

При помощи графического способа, место судна определяется непосредственно на карте. Этот способ применяется, когда изолинии имеют простую форму, удобную для нанесения на карту. Графический способ подробно рассматривается в курсе навигации, посему, его рассматривать не будем.

Аналитические способы дают место судна только путём математической обработки навигационных параметров. Математически, эти способы весьма сложны, но при современном развитии вычислительной техники, их использование значительно упрощается.

Задачу опрелеления места судна методом изолиний решают в следующем порядке:

· выполняются измерения навигационных параметров;

· составляются системы уравнений изиолиний измеренных параметров;

· подставляются в систему полученные параметры и система решается относительно j_o и l_o.

В обобщённом методе линий положения, навигационные параметры после некоторой математической обработки преобразовываются в унифицированные линии положения, оснванные на использовании величины градиента g и его направления t, после чего графическим способом на карте или планшете определяется место судна.

Если, изолиния показывает постоянное значение навигационного параметра, то градиент показывает направление и величину его изменения, разумеется, градиент всегда направлен перпендикулярно изолинии.

,

то есть показывает, как изменяется навигационный параметр с расстоянием.

Один из простых, но показательных случаев, расчёт градиента глубин. Снимаем разность глубин, на рисунке – DU=10 метров, измеряем расстояние между изолиниями – D n=0, 4 мили, направление градиента идёт по увеличению глубины.

Получение формул для изолиний навигационных параметров, а так же для их градиентов приводятся в курсе лекций, а так же в [1], мы же ограничимся результатами этих выкладок, необходимыми для решения практических задач

Таблица 7.

Навигационный параметр	Изолиния	Градиент	Направление градиента
Локсодромический пеленг с судна на ориентир
Локсодромический пеленг с ориентира на судно
Ортодромический пеленг с ориентира на судно		град/миля
Ортодромический пеленг с судна на ориентир		град/миля
Дистанция на плоскости		миля
Дистанция на сфере		миля
Горизонтальный угол		град/миля	Снимается графически, направлен из счислимой точки к центру описанной окружности.
Вертикальный угол
Высота светила		миля

В таблице:

j_с – счислимая широта

l_с – счислимая долгота

j_А – широта измеряемого объекта

l_А – долгота измеряемого объекта

D_А, D_{В –} дистанция до измеряемого объекта

Dc – счислимая дистанция

d – расстояние между ориентирами

Пс – счислимый пеленг

g - сферическое схождение меридианов

Для ортодромического пеленга с судна на ориентир

6.1. Графоаналитический метод.

Основан, на обобщённом методе линий положения (ЛП). Суть способа состоит в том, что на коротком отрезке, изолинию сколь угодно сложной формы можно заменить, на прямую, касательную к этой изолинии. Впервые этот метод был применён для определения места судна по наблюдениям светил и проще его пояснить именно на этом примере.

Предположим, что наблюдатель находится в точке М с координатами j и l, которые ему не известны и которые предстоит определить с достаточной точностью. В этой точке он измеряет высоту h светила С.

Зная высоту светила можно провести круг равных высот с радиусом z = 90° - h. Разумеется, точка М будет находиться где-то на этой окружности.

При этом наблюдателю известны счислимые (приблизительные) координаты j_С и l_С точки. Из параллактического треугольника можно рассчитать счислимые высоту и азимут светила:

Эту высоту наблюдатель измерил бы, если б находился в точке М_С. Через эту точку так же можно провести круг равных высот с радиусом z_С = 90° - h_С. Разность n = h – h_C даст нам расстояние в милях между действительным и счислимым кругами равных высот. Проведя азимут А_С на светило и отложив на нём со своим знаком расстояние n, мы найдём определяющую точку К на действительном круге равных высот. Проведя через неё перпендикуляр, мы получим Высотную Линию Положения (ВЛП).

Измерив высоту другого светила и произведя аналогичные расчёты, мы получим вторую ВЛП. Пересечение обоих ВЛП даст нам обсервованное место судна М₀.

Учитывая то, что радиус круга равных высот, как правило, на несколько порядков больше расстояния между точками М_С и М, замена дуги на прямую линию практически не отразится на точности расчётов. То есть мы можем считать, что полученная нами точка М₀ практически совпадёт с действительной точкой М.

Переходя к обобщённому методу линий положения можно сказать, что навигационным параметром U, является истинная высота светила h, градиент g при этом равен единице, направление градиента совпадает с азимутом на светило.

Обобщённый порядок расчётов при графоаналитическом способе выглядит следующим образом:

5. Измеряются навигационные параметры U_о1 и U_о2;

6. рассчитываются счислимые параметры U_с1 и U_с2 (по формулам приведенным в таблице), на моменты измерений U_о1 и U_о2;

7. вычисляются разности

D U₁ = U_о1 - U_с1; D U₂ = U_о2 - U_с2;

8. рассчитываются модули g₁ и g₂ градиентов навигационных параметров и их направления t₁ и t₂;

9. по формулам

;

рассчитываются переносы;

10. на карте или планшете от счислимой точки по элементам t₁, Dn₁ и Dt₂, n₂ строятся линии положения I–I и II–II, делается єто следующим образом:

1. Через счислимую точку при помощи транспортира проводится направление градиента t₁ первого навигационного параметра.

2. Вдоль направления градиента откладывается перенос n₁ по направлению, если перенос положителен, в противоположном – если отрицателен.

3. Через полученную точку жирным цветом проводится линия положения, обозначаемая с концов римской цифрой I.

4. Для построения второй линии положения производятся действия 1-3.

5. Пересечение высотных линий положения даёт нам обсервованную точку.

6. Снимаем координаты точки и невязку.

7. Производим оценку точности обсервованного места.

Следует учитывать, что производя построения на планшете, мы снимаем с него приращение координаты Dj, и отшествие Dw, далее при помощи углового масштаба, или формулы получаем приращение Dl.

При аналитическом методе п.6, графических расчётов заменяется совместным решением системы уравнений:

Dw отшествие.

Решив эту систему методом определителей и учитывая, что

Dl=Dw/cos(j_c),

получим приращения координат:

,

где Q=t₂-t₁

далее определяем счислимые координаты:

j₀=j_с+Dj l₀=l_с+Dl

Как уже говорилось выше метод ЛП основывается на замене изолинии навигационного параметра, могущего иметь совершенно разные формы, на отрезок прямой, направленный по касательной к изолинии, естественно такая замена возможна лишь на небольших расстояниях, как правило, не превышающих 15-20 миль в приращениях координат. При получении приращений с большими значениями полученное место следует принять за первое приближение, а полученные координаты за счислимые и повторить рассчёты ещё раз.

§7. Влияние случайных ошибок измерений на точность места, определяемого по двум ЛП.

7.1. Смещение и вес ЛП.

Ошибки в измерениях навигационного параметра к ошибкам в изолиниях, а значит, и в ЛП, которые их заменяют. Навигационные параметры по которым строятся изолинии и ЛП, могут получаться совершенно разными способами и иметь величины ошибок имеющих разные размерности и величины, учитывая это для унификации удобно применять среднеквадратическое смещение ЛП равное

m_нп – СКП навигационного параметра,

g – его градиент

Она показывает, на сколько линейных единиц смещается ЛП при заданной величине СКП. Величину m_нп называют смещением ЛП или полосой ЛП, т.к. при изменении абсолютного значения U_o, на величину ±m_нп провести соответствующие этим значениям U'= U_o – m_нп U''= U_o+ m_нп границы, которые определят среднеквадратическую полосу положения. Вероятность поподания истинного сначения в эту полосу определяется вероятностью погрешности навигационного параметра, для СКП ~ 0.67, для предельной СКП ~ 0.997, более подробно об этом говорилось ранее.

При оценке точности рассматривается вероятность попадания истинного места судна в пределы фигуры ошибок, а не отклонения или ошибки от истинного места судна. Теоретически необходимо рассматривать вероятность того, что фигура погрешности данной формы и площади данного размера, расположенная в данном месте накроет точку истинного места. Практически рассматривают отклонение, полагая центр фигуры вероятнейшим местом. На практике считают, чтобы погрешности измерения параметров распределены беспрерывно, т.е. мест судна бесконечно много.

Для оценки точности места судна в судовождении применяют: эллипсы и круги погрешностей.

7.2. Эллипс погрешностей

При ОМС составляется и решается уравнение, прокладывается изолиния или ЛП отягощенная ошибками измерений. Величины и знаки истинных ошибок измерений носят случайный характер, и учесть их можно лишь статистически.

Вывод формул оценки точности места базируется на предположениях:

1) Грубые ошибки или промахи, пропущенные при измерениях, исключены.

2) Компенсированы систематические ошибки измерений

3) Ошибки вычислений и графики малы и несущественны

4)

5) Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распространения случайных величин.

Достоинства оценки места судна эллипсом.

1) Он имеет строго теоретическое обоснование.

2) Это единственная кривая, во всех точках которой плотность вероятности ошибки постоянна.

3) Вероятность попадания истинного места судна в область, ограниченную эллипсом, больше, чем у любой другой фигуры одинаковой с эллипсом площади.

4) Эллипс дает рассеяние мест судна по направлениям.

При двух ЛП на практике, достаточно вписать приближенный эллипс в четырёхугольник, образованный полосами погрешностей. При этом вероятнейшим местом судна будет точка пересечения ЛП - центр эллипса погрешностей из-за того, что в элементарно малых окрестностях этой точки вероятность нахождения места судна больше, чем в аналогичных окрестностях любой другой точки.

Для строгого построения эллипса погрешностей рассматриваются векториальные ошибки , линии положения 1 и 2 по направлению ЛП₂ и ЛП₁.

Учитывая, что вектора - сопряжённые полуоси эллипса используют теорему Аполлония

или

Где a угол, определяющий направление большой полуоси эллипса, который всегда откладывается внутри острого угла Q от более точной ЛП.

Ещё один способ расчета эллипса погрешностей по 2-м ЛП, заключается в использовании таблицы прил. № 5 к МТ-75 Аргументами для входа в таблицу служат величины

и угол Q. Из таблицы выбирают К_а, К_b и Полуоси рассчитывают по формуле:

Таблица приложений S составлена по преобразованным формулам Аполлония.

§8. Графические методы отыскание вероятнейшего места судна при избыточном числе линий положения.

При ОМС по двум ЛП или изолиниям имеет место существенный недостаток, а именно, практически отсутствует возможность проверить наличие систематических ошибок или промахов в измерениях и избавиться от их влияния. Частично эту проблему можно решить, получив избыточное число навигационных параметров, как правило, три или четыре.

Получив три ЛП (изолинии) и нанеся их на карту, вследствие влияния случайных и систематических погрешностей, линии положения сойдуться не в одной точке, а мы получим треугольник погрешностей. К сожалению вычесление промахов, кроме очень крупных практически невозможно, но от воздействия одинаковых систематических ошибок избавиться возможно.

Практически встают следующие вопросы:

· Каким образом лучше выбирать ориентиры?

· Где выбрать обсервованное место судна при равноточных и неравноточных измерениях?

· Как оценить точность полученного места и получить площадь, где находится место судна с наибольшей вероятностью.

8.1. Действие систематических ошибок.

В теоретическом курсе показывается, что если между двумя ЛП положения провести биссектрису угла, то полученная «разностная» линия будет свободна от действия систематических ошибок. Для построения достаточно двух биссектрис. Эту операцию иногда называют «разгоном» треугольника погрешностей.

Для построения биссектрис именно тех углов, при вершинах треугольника перпендикулярно линиям положения, наносятся стрелочки в направлении азимута, затем проводится биссектриса меньшего угла между стрелочками (Рис. 10).

Другой способ разгона треугольника погрешностей заключается в смещении всех ЛП (или изолиний) на одну и ту же величину, в одном направлении. Далее сходные углы соединяются линиями. На пересечении этих линий мы получим место свободное от систематических погрешностей (рис.11).

При построении биссектрис и определении обсервованного места может встретиться два случая:

Ориентиры расположены в одной половине горизонта, в этом случае точка пересечения биссектрис будет лежать вне треугольника погрешностей (Рис.10 а).

Вследствие того, что в реальных условиях на систематические ошибки накладываются ещё и случайные, приём может привести к грубым ошибкам в обсервованном месте, и его следует применять с большой осторожностью.

Ориентиры расположены в разных частях горизонта. В этом случае точка пересечения биссектрис будет лежать внутри треугольника ошибок (Рис.10 б).

Учитывая то, что внутри треугольника отклонение обсервованной точки от реальной значительно меньше, чем может быть снаружи, для обсервации рекомендуется подбирать ориентиры, лежащие в разных частях горизонта.

Следует помнить, что вышесказанное справедливо, лишь при допущении, что действие случайных ошибок равно нулю. Поэтому нельзя считать, что наши построения обнаруживают систематическую ошибку, скорее наоборот, они сами являются следствием предположения, что действуют только равные систематические ошибки.