Понятие о внутреннем трении

Лабораторная работа 119 ^ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ

ЖИДКОСТИ ПО МЕТОДУ СТОКСА ВВЕДЕНИЕ

Понятие о внутреннем трении

Между движущимися слоями при движении жидкости (или газа) возникают силы трения. Со стороны слоя, движущегося более быстро, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила. Наоборот, со стороны слоя, движущегося медленнее, на более быстрый слой действует задерживающая сила. Эти силы, называемые силами внутреннего трения, направлены по касательной к поверхности слоев. Возникновение этих сил в газах объясняется тем, что слои, движущиеся с разными скоростями, обмениваются молекулами. Молекулы из более быстрого слоя, переходя в более медленный слой, передают ему свой импульс, вследствие чего медленный сдой начинает двигаться быстрее.

Молекулы, переходящие из медленного слоя в более быстрый слой, получают там некоторый импульс, вызывая его торможение.

Возникновение сил внутреннего трения в жидкостях объясняется, главным образом, наличием значительных сил сцепления между молекулами жидкости.

В случае установившегося (ламинарного) течения жидкости (или газа) сила внутреннего трения выражается формулой

, (1)

где – площадь соприкосновения слоев; – изменение скорости движения слоев на единицу длины в направлении, перпендикулярном к направлению их движения – градиент скорости(рис.1); – коэффициент внутреннего трения или коэффициент динамической вязкости. Он численно равен силе внутреннего трения. которая действует на единицу площади поверхности соприкосновения слоев, движущихся один относительно другого с градиентом скорости, равном единице. Единица градиента скорости как в системе СИ, так и в системе СГС равна . Единица коэффициента динамической вязкости в системе СИ – . Она равна вязкости такого вещества, в котором на поверхности слоев, движущихся относительно друг друга с градиентом скорости , действует сила, равная .

Единица коэффициента динамической вязкости в системе СГС –

. Часто применяется коэффициент кинематической вязкости , где – плотность вещества. В системе СГС его единицей измерения является 1 стокс , в системе СИ – . .

С ростом скорости движения жидкости или газа увеличивается градиент скорости и сила внутреннего трения. При больших скоростях движения течение жидкости или газа может стать турбулентным (образуются вихри), и формула (1) неприменима. Явление внутреннего трения имеет большое практическое значение. Смазка трущихся поверхностей деталей машин позволяет заменить сухое трение значительно меньшим внутренним трением в жидкости и значительно уменьшает износ деталей, ненужные потери энергии.

Существует множество способов определения вязкости жидкостей и газов. Рассмотрим теорию двух таких методов.

Метод Стокса. На тело, движущееся в какой-либо жидкой среде

действует сила трения, которая имеет место не между телом и жидкостью, а между слоями жидкости. Слой, непосредственно прилегающий к поверхности тела, прилипает к ней и движется вместе с телом. Этот слой при движении увлекает соседние слои жидкости. Относительное движение слоев жидкости при небольших скоростях движения тела является безвихревым, ламинарным и зависит от вязкости жидкости.

Стокс, рассмотрев движение шарика радиуса небольшой скоростью в безграничной вязкой среде, получил следующую формулу для силы трения, испытываемой шариком:

(2)

Рассмотрим падение небольшого шарика под действием силы тяжести в вязкой жидкости (рис.2). При этом на шарик действуют три силы:

1. Сила тяжести ,

где – объем, – плотность шарика.

2. Выталкивающая сила Архимеда (.– плотность жидкости).

3. Сила внутреннего трения по П закону Ньютона

или

(3)

где – ускорение, – масса шарика.

В начале движения скорость шарика возрастает, и .

Но с увеличением скорости движения шарика возрастает сила внутреннего трения , и наступает момент, когда сила тяжести уравновешивается суммой сил Архимеда и Стокса:

или

, (4)

С этого момента движение шарика становится равномерным со скоростью . Решая уравнение (4) относительно , получим для коэффициента внутреннего трения выражение

, (5)

Формула (5) справедлива для движения шарика в безграничной среде. При практическом осуществлении опыта по изучению движения шарика обычно берется цилиндрический сосуд. Учет влияния стенок, дна сосуда и верхней поверхности жидкости приводит к следующему выражению для коэффициента вязкости:

(6)

где – радиус сосуда, – высота столбика жидкости. Если радиус шарика значительно меньше радиуса цилиндра и высоты столбика жидкости (r < < R, r < < h), то поправки в знаменателе выражения (6) настолько малы, что влиянием размеров сосуда можно пренебречь.

Метод Стокса обычно применяется для измерения коэффициента внутреннего трения сравнительно вязких жидкостей, например масел.

Метод капиллярных трубок. Рассмотрим вычисление объема жидкости (или газа), вытекающей за время t через трубу радиуса r и длины l при некоторой разности давлений на концах трубы. Скорость течения жидкости в разных точках ее поперечного сеченая различна. Благодаря силам внутреннего трения наибольшая скорость течения будет в центре трубы, у стенок она равна нулю (рис.3). Для решения поставленной задачи нам нужно знать изменение скорости течения жидкости в зависимости от расстояния y от оси трубы.

Выделим внутри жидкости (газа) элементарный цилиндр радиуса y и длины l с осью, совпадающей с осью трубы (см. рис.3). Сила, движущая расположенную внутри цилиндра жидкость, равна результирующей сил давления на основаниях цилиндра

. Сила вязкого трения, действующая на боковую поверхность цилиндра, равна . В силу стационарности и равномерности движения слоев жидкости

Откуда

Скорость течения слоя, имеющего радиус у. можно найти, интегрируя это выражение по координате у:

где с – произвольная постоянная, значение которой может быть легко найдено из граничного условия. При поэтому

Эта формула представляет собой закон распределения скорости течения жидкости по сечению трубы. Если считать, что на всем сечении трубы падение давления на единицу длины трубы постоянно , то скорость частиц жидкости будет распределяться по параболическому закону , где . Вершина параболы лежит на оси трубы (см. рис. З).

Для того, чтобы вычислить объем жидкости, вытекающей через сечение трубы, нужно подсчитать элементарный расход жидкости через кольцевое сечение радиуса у и толщиной , в пределах которого скорость течения жидкости можно считать постоянной (рис.4).

За время t через площадь кольцевого сечения протекает объем жидкости . Тогда с учетом выражения скорости (7) можно записать:

Интегрируя это выражение по всем кольцевым сечениям (т.е. по у) в пределах от 0 до r, получим объем жидкости (газа), вытекающей из трубы:

, (8)

Формула (8) называется формулой Пуазейля. Она показывает, что количество вытекающей из трубы жидкости (или газа) весьма сильно зависит от ее радиуса (пропорционально ). Для турбулентного движения жидкости формула Пуазейля непригодна.

Из формулы (8) видно, что измерив разность давлений, время истечения t некоторого объема жидкости, длину и радиус трубы, можно найти вязкость протекающей по трубе жидкости

, (9)

Чтобы при обычных скоростях течения жидкости (или газа) внутри трубы не образовались вихри, сама труба должна иметь тонкое сечение. Обычно это условие достаточно хорошо выполняется в капиллярных трубах. Поэтому метод измерения коэффициента вязкости, основанный на формуле Пуазейля, часто называют методом капилляра, а приборы, используемые для этого, называются капиллярными вискозиметрами.