Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда

Числовым рядом называется выражение вида

(5),

где члены ряда, общий член ряда (5).

Сумма первых членов ряда (5) называется частичной суммой этого ряда.

Суммой ряда называется предел частичной суммы этого ряда при условии, что произвольным способом неограниченно возрастает:

(6)

Числовой ряд, имеющий сумму в смысле этого определения, называется сходящимся, ряд же, не имеющий суммы, называется расходящимся.

Отметим некоторые свойства сходящихся рядов:

1. Если в сходящемся ряде заменить конечное число членов новыми числами, или отбросить или приписать конечное число членов ряда, или совершить перестановку любого конечного числа членов ряда, то получим новый сходящийся ряд.

2. Если все члены сходящегося ряда, сумма которого равна , умножить на некоторое число , то получится новый сходящийся ряд, сумма которого равна .

3. Сумма и разность двух сходящихся рядов есть новый сходящийся ряд. Его сумма равна соответственно сумме или разности сумм этих двух рядов.

Необходимый признак сходимости ряда. Теорема. Если ряд сходится, то его ый член стремится к нулю при неограниченном возрастании , т.е. .

Доказательство. Пусть ряд (5) сходится, т.е. , тогда имеет место также и равенство . Вычитая почленно из первого равенства второе, получим или . Но , следовательно .

Следствие. Если , то ряд расходится.

Рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным, т.е. из того, что , еще не следует, что ряд сходится, - ряд может и расходиться. Так, например, так называемый гармонический ряд расходится, хотя . Покажем это. Пусть , , поэтому , или . Если бы гармонический ряд сходился, то по определению , а тогда последовательность имела бы тот же предел , а в предшествующем неравенстве был бы возможен предельный переход, который привел бы к соотношению , что нелепо.