Неоднородные линейные уравнения второго порядка

Неоднородное линейное уравнение второго порядка имеет вид

Общее решение данного уравнения определяется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения

Так как общее решение однородного уравнения мы уже умеем находить, то основная задача при интегрировании неоднородного уравнения состоит в нахождении какого-нибудь его частного решения .

Укажем общий метод нахождения частных решений неоднородного уравнения, который называется методом вариации произвольных постоянных.

Общее решение однородного уравнения имеет вид . Будем искать частное решение неоднородного уравнения в такой же форме, предполагая и как некоторые пока неизвестные функции от , т.е.

, (1)

где .

Продифференцируем равенство (1): (2)

Подберём и так, чтобы выполнялось равенство , тогда

(3)

(4)

Подставляя (1), (3) и (4) в уравнение , получим

или

Т.к. и - решения однородного уравнения , то и , следовательно . Таким образом, выражение (1) будет решением неоднородного уравнения в том случае, если и удовлетворяют системе уравнений:

(5)

Так как определителем этой системы является определитель Вронского для линейно независимых решений и уравнения , то он не равен нулю; следовательно, решая систему, мы найдём и как определённые функции от : . Интегрируя, получим , .

Подставив значения и в выражение (1), найдём общее решение неоднородного уравнения.

Решение уравнения , где правая часть есть сумма двух функций и , можно представить в виде суммы , где и есть соответственно решения уравнений