Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть дано однородное уравнение второго порядка

, (1)

где и - постоянные числа.

Согласно свойству (4) для определения общего решения уравнения надо найти два линейно независимых частных решения. Будем искать частные решения в виде

, где .

Тогда .

Подставим полученные выражения в данное уравнение

,

откуда, т.к. , (2)

Уравнение (2) называется характеристическим уравнением уравнения (1). Решение уравнения (2) имеет вид:

Возможны следующие случаи:

1. и - действительные и притом не равные между собой;

2. и - действительные и притом равные между собой;

3. и - комплексные числа.

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1.

В этом случае , причём т.к. , следовательно, общее решение по свойству (4) имеет вид

2.

Одно частное решение можно искать в виде , но второе уже искать в таком же виде нельзя, т.к. они окажутся линейно зависимыми. Второе частное решение будем искать в виде , где . Тогда и

. Подставим значения в уравнение (1):

.

Т.к. корень характеристического уравнения, то , кроме того , т.к. корни равны между собой. Следовательно, , откуда . Решая последнее уравнение получим . Полагая получим . Следовательно, второе частное решение можно искать в виде . Заметим, что . По свойству (4) имеем , т.е.

3.

В этом случае . . Следовательно,

.

Обозначим и , тогда по свойству (4) общее решение: