Однородные уравнения первого порядка

Прежде чем перейти к рассмотрению вопроса о решении однородных уравнений первого порядка познакомимся с понятием однородных функции.

Определение 1. Функция называется однородной функцией -го измерения относительно переменных и , если при любом справедливо тождество

.

Так, например, функция однородная функция первого измерения, т.к. ;

функция однородная функция нулевого измерения, т.к. ;

функция неоднородная функция, т.к. однородная функция первого измерения, а однородная функция четвёртого измерения.

Определение 2. Уравнение первого порядка называется однородным относительно и , если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно и .

Однородные уравнения первого порядка приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки

Уравнение вида будет однородным тогда и только тогда, когда функции и будут однородными функциями одного и того же измерения.

Например, однородное уравнение;

неоднородное уравнение.

Замечание: Уравнения вида при приводятся к однородным подстановкой где точка пересечения прямых и Таким образом, для определения и необходимо решить систему уравнений:

Если же , то подстановка позволяет разделить переменные.