Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Из определения четной и нечетной функции следует, что если четная функция, то , если же нечетная функция, то (доказать самостоятельно).

Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение есть функция четная, а нечетная и, следовательно,

(28)

т.е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».

Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция, то произведение есть функция нечетная, а четная и, следовательно,

(29)

т.е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».

Ряд Фурье для функции с периодом

Пусть есть периодическая функция с , вообще говоря, отличным от . Разложим ее в ряд Фурье. Сделаем замену переменной по формуле . Тогда функция будет периодической функцией от с . Ее можно разложить в ряд Фурье на :

, (30)

где

(31)

Возвратимся теперь к старой переменной : . Тогда будем иметь:

(32)

Формула (21) примет вид

, (33)

где коэффициенты вычисляются по формула (32). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом .