Ряды Фурье

Функциональный ряд вида

(20)

называется тригонометрическим рядом, где коэффициенты тригонометрического ряда. Если ряд (20) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом , так как и являются периодическими функциями с периодом . Таким образом . Определим коэффициенты ряда (20).

Пусть периодическая с функция такова, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале , т.е. является суммой этого ряда:

. (21)

Проинтегрируем обе части равенства (21) в пределах от до :

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:

Следовательно, , откуда

(22)

Для вычисления остальных коэффициентов ряда нам потребуются некоторые определенные интегралы (доказать самостоятельно). Если и - целые числа, то имеют место следующие равенства:

если , то

(23)

если же , то

(24)

Для определения коэффициента при каком-либо определенном значении умножим обе части равенства (21) на и проинтегрируем в пределах от до :

Принимая во внимание формулы (23) и (24), заметим, что все интегралы в правой части равны нулю, кроме интеграла с коэффициентом . Следовательно,

,

откуда

(25)

Умножая обе части равенства (21) на и снова интегрируя в тех же пределах, получим:

,

откуда

(26)

Коэффициенты, определенные по формулам (22), (25), (26) называются коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд (20) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции .

Если периодическая функция с периодом - кусочно-монотонная и ограниченная на , то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда равна значению функции в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции справа и слева, т.е. если точка разрыва функции , то

.

Периодическая функция обладает свойством , каково бы ни было число , поэтому при вычислении коэффициентов Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования промежутком интегрирования , т.е.

(27)