Задача №1. Линейная парная регрессия

Эконометрика: методические указания по контрольной работе

К.э.н. доцент Ю.Я. Настин, 24.11.15

Контрольная работа состоит из 4-х разделов: 1) задача-1, 2) задача-2, 3) вопрос-1, 4) вопрос-2.

Варианты и номера теоретических вопросов

Теоретические вопросы

1. Точечные и интервальные оценки параметров.

2. Проверка статистических гипотез.

3. Линейная парная корреляция.

4. Коэффициент корреляции.

5. Основные положения регрессионного анализа и теорема Гаусса-Маркова.

6. Доверительный интервал для функции регрессии.

7. Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной.

8. Доверительный интервал для параметров регрессионной модели.

9. Оценка значимости уравнения регрессии по коэффициенту детерминации.

10. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

11. Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии.

12. Явление мультиколлинеарности и ее устранение.

13. Отбор наиболее существенных объясняющих переменных в регрессионной модели.

14. Линейные регрессионные модели с переменной структурой и фиктивные переменные.

15. Критерий однородности выборки Чоу.

16. Нелинейные модели регрессии.

17. Частная корреляция.

18. Временные ряды и их составляющие.

Таблица 1 - Исходные данные для задач 1 и 2

Продолжение табл. 1

Продолжение табл. 1

Продолжение табл. 1

Продолжение табл. 1

Таблица 2 - Исходные дополнительные данные для задачи 2

Задача №1. Линейная парная регрессия

Торговая компания располагает семью магазинами (i=1: 7). Она поставила задачу: исследовать зависимость объема продаж (у - в десятках тыс.руб./день) от размера торговой площади (х – в сотнях м²). В табл. 1 приведены соответствующие данные по вариантам.

Единицы измерения выбраны с учетом достоверности данных и удобства вычислений.

Жирным шрифтом в таблице 1А выделены два столбца, для которых рассмотрен пример решения задачи.

1.1. Нанести в координатах ХY точки на плоскость (построить корреляционное поле).

Решение. Для наглядности выберем наши данные из табл.1. в табл. 3.

Таблица 3

На рис. 1 представлено корреляционное поле. Как видно, оно должно хорошо аппроксимироваться прямой линией. Зависимость между Х и Y тесная и прямая.

у

х

Рисунок 1

1.2. Найти методом наименьших квадратов уравнение регрессии Y по Х в линейной форме:

=b0+ b1x.

(1)

Решение. Расчетные формулы для неизвестных параметров регрессии:

(2)

На основе табл. 3 рассчитаем необходимые суммы, входящие в формулу (2).

Таблица 4

xi	yi	x2	xiyi	(xi- )2	xi	ei2=( xi-yi)2
				5, 90	1, 97	0, 00
				5, 90	1, 97	1, 06
				2, 04	3, 51	0, 22
				0, 18	5, 05	0, 00
				0, 32	6, 59	2, 53
				2, 46	8, 13	1, 28
				20, 88	12, 75	1, 56
				37, 68		6, 65

(3)

Искомые оценки параметров регрессии и само уравнение регрессии:

b1= (27, 86-3, 43× 5, 71)/(17, 14-3, 432) =8, 27/5, 38=1, 54 b0=5, 71-1, 54× 3, 43=0, 43 =0, 43+1, 54x.

1.3. Построить линию регрессии на координатной плоскости XY.

Решение. Искомую линию проще всего построить по двум точкам (см. рис. 1), например (0; 0, 43) и (8, 00; 12, 75).

1.4. Показать графически и аналитически, что линия регрессии проходит через точку (, ).

Решение. Из графика на рис.1 видно, что линия регрессии проходит через точку “средних” ( =3, 43; =5, 71). Проверим это аналитически: =0, 43+1, 54× 3, 43 = 5, 71, что и требовалось доказать.

1.5. На сколько вырастет средний объем продаж при увеличении х на 1.

Решение. При увеличении торговой площади на 1 (100 м²) в среднем объем продаж увеличится на b₁= 1, 54 (т.е. на 15400 руб./день).

1.6. Имеет ли смысл свободный член в уравнении регрессии.

Решение. Свободный член b₀=0, 43 смысла не имеет, т.к. при нулевой торговой площади положительного объема продаж быть не может.

1.7. Вычислить коэффициент корреляции между переменными X и Y.

Решение. Используем формулу:

(4)

Здесь известно все, кроме

Окончательно

Полученное значение коэффициента корреляции говорит о высокой (почти функциональной) зависимости объема продаж от размера торговой площади.

1.8. Определить графически и аналитически прогнозное среднее значение объема продаж для проектируемого магазина " СИ" с торговой площадью х=11 (напомним, что это 1100 м²).

Решение. Прогнозное значение из рис.1 и из формулы совпадают:

=0, 43+1, 54× 11=17, 37 (173700 руб./день)

1.9, а) Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж.

Решение. Оценка значения условного МО М_х=11(Y) равна 17, 37. Чтобы построить доверительный интервал для СВ _х=11, нужно оценить дисперсию ее оценки .

Для этого определим дисперсию возмущений (см. табл. 4, графы 4-6):

Искомая дисперсия

Для статистики Стьюдента число степеней свободы k = n – 2 = 7 – 2 = 5. По табл. П2 находим значение t_{0, 95; 5}=2, 57 критерия Стьюдента. Искомый 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж магазина " СИ":

Нижнее значение интервала: 17, 37-2, 57× 1, 48=13, 57.

Верхнее значение интервала: 17, 37+2, 57× 1, 48=21, 37.

Окончательно интервал имеет вид:

13, 57 £ M_x(Y) £ 17, 37.

1.9, б). Найти 95%-ный доверительный интервал для индивидуального прогнозного значения объема продаж _xo=11.

Решение. Чтобы построить доверительный интервал для СВ _хo=11, нужно оценить ее дисперсию:

Нижнее значение интервала: 17, 37-2, 57× 1, 88=12, 54.

Верхнее значение интервала: 17, 37+2, 57× 1, 88=22, 20.

Окончательно интервал имеет вид:

12, 54 £ £ 22, 20.

Как и следует из теории, этот интервал больше предыдущего и большой по величине. Коэффициент осцилляции для него:

К_о=(R/ )100%= ((22, 2-12, 54)/17, 37)100%=55, 6%.

1.10, а) Найти с надежностью 0, 95 интервальные оценки коэффициента регрессии b₁.

Решение. Общая формула для расчета интервала:

b₁-D £ b₁ £ b₁+D,

где

Нижнее значение интервала: 1, 54-0, 48=1, 06.

Верхнее значение интервала: 1, 54+0, 48=2, 02.

Окончательно интервал имеет вид:

1, 06 £ b₁ £ 2, 02.

1.10, б) Найти с надежностью 0, 95 интервальные оценки дисперсии возмущений s².

Решение. Найдем по табл.П3 (критерий Пирсона) табличное значение статистики хи-квадрат:

Формула для доверительного интервала:

1.11, а) Оценить на уровне a=0, 05 значимость уравнения регрессии Y по Х по критерию Фишера.

Решение. Вычислим суммы квадратов.

Общая сумма:

Q=å (y_i- )²=13, 77+7, 35+2, 93+0, 51+0, 51+1, 67+68, 73= 95, 47.

Регрессионная сумма:

Q_R=å ( _i- )²=13, 99+13, 99+4, 84+0, 44+0, 78+8, 56+49, 56=92, 16.

Остаточная сумма: Q_e=å ( _i-у)²=6, 65 (см. табл. 4).

Значение статистики Фишера:

Уравнение регрессии значимо, если F > F_{a, k1, k2}, где степени свободы k₁=m-1=2-1=1, k₂=n-m=7-2=5. По табл. П4 находим критическое значение F_{0, 05; 1; 5}=6, 61. Так как 69, 66 > 6, 61, то уравнение значимо: коэффициент регрессии b₁ =1, 54 значимо отличается от нуля.

1.11, б) Оценить на уровне a=0, 05 значимость уравнения регрессии Y по Х по критерию Стьюдента.

Решение. Уравнение парной регрессии значимо, если t> t_крит. Значение статистики Стьюдента:

По табл. П2 находим t_крит.=t_{0, 95; 7-2=5}=2, 57. Так как 8, 22 > 2, 57, то гипотезу Н_о(Н_о : β ₁=0) отвергаем и принимаем противоположную гипотезу Н₁: уравнение значимо.

1.12. Определить коэффициент детерминации R² и раскрыть его смысл: на сколько процентов в среднем объем продаж зависит от размера торговой площади.

Решение. Используем формулу: R²= Q_R/Q = 92, 16 / 95, 47 = 0, 97. R² показывает, какая доля вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной. Ответ: эта доля составляет 97%.