Лекция 1. Декомпозиция математической модели САУ на быстрые и медленные движения

Пусть объект управления описывается системой линейных уравнений в отклонениях от номинального (заданного) режима:

(1)

где – -вектор состояния, – -вектор управления, – -вектор выхода системы.

Упрощение модели САУ (1) эквивалентно понижению ее размерности при сохранении основных ее динамических свойств. Это возможно в том случае, когда в системе (1) имеются быстрые и медленные движения, при этом быстрые движения существенно не влияют на характер медленных движений. Иначе говоря, спустя некоторый интервал времени, когда затухнут быстрые движения, динамика САУ зависит от медленных движений. Примером являются САУ с быстродействующими приводами и медленными процессами управления (например, рулевые машинки на летательном аппарате и др.).

С математической точки зрения быстрые и медленные движения связаны с особенностью структуры матрицы системы (1), а именно, с распределением корней характеристического уравнения

(2)

на комплексной плоскости. Для простоты будем считать их различными.

Известно, что в этом случае матрицу можно представить в виде , где – диагональная матрица, состоящая из диагональных матриц: – матрица, содержащая на диагоналях корни медленных движений (левые корни в окрестности мнимой оси, корни на мнимой оси и правые корни); – матрица, содержащая на диагоналях корни быстрых движений (левые корни вдали от мнимой оси).

Найдем упрощенную систему уравнений, в которых присутствуют только корни медленных движений матрицы . Для этого в уравнении (1) используем преобразование координат с матрицей

.

Тогда получим преобразованное уравнение:

(3)

где , , . С учетом структуры матрицы уравнение (3) перепишем в виде:

(4)

(5)

где координаты -вектора изменяются медленнее, чем координаты -вектора .

Запишем решение уравнения (5):

(6)

где предполагается, что при выполняется условие и, следовательно, при из (6) получим приближенное равенство:

. (7)

Учитывая, что из (7) получим:

.

Аналогично на втором интервале времени , при начальном условии получим

.

Отсюда следует, что при справедлива приближенная формула:

, (8)

которая также непосредственно следует из уравнения (5), если положить .

Учитывая, что и при существовании обратной матрицы , найдем

. (9)

Перепишем систему (1) в виде

и подставим вектор (9) в уравнение для .

Тогда получим уравнение для :

, (10)

,

где .

Таким образом, понижена размерность исходной системы (1) на .