Лекция 2. Математическое описание ЦСАУ: многомерные САУ с запаздыванием в управлении

Пусть объект управления (ОУ) описывается системой линейных уравнений в отклонениях от номинального (заданного) режима:

(1)

где – -вектор состояния, – -вектор управления, – -вектор выхода системы. Предполагается, что измерение выходных сигналов осуществляется в дискретные моменты времени , , с периодом дискретности , а кусочно-постоянное управление формируется на выходе ЦАП с запаздыванием:

при , (2)

где – время запаздывания, равное сумме времени измерения входных сигналов в АЦП, времени счета ЦВМ, времени формирования управляющих сигналов на выходе ЦАП; предполагается, что . Таким образом, в момент времени на вход ОУ подается предыдущий сигнал и только спустя время запаздывания поступает сигнал .

Для решения задачи синтеза управления необходимо перейти к дискретной модели ОУ (1), не забывая при этом, что в промежутках между моментами квантования по времени теряется информация о поведении переходных процессов объекта управления (1). Очевидно, что чем меньше период дискретности , тем ближе переходные процессы ОУ (1) к процессам в дискретные моменты времени.

Запишем решение системы (1), (2) для дискретных моментов времени :

. (3)

С учетом выражения для (2) сначала вычислим интеграл:

,

где в первом интеграле введем замену переменной или , . При этом пределы интегрирования изменяются следующим образом:

.

Следовательно, получим

.

Проводя аналогичную замену во втором интеграле, получим:

.

Таким образом, можно записать:

.

Тогда уравнение (3) будет иметь вид:

. (4)

Введем тождественное уравнение

, (5)

тогда систему уравнений (4), (5) можно записать в матричном виде:

. (6)

Введем расширенный вектор состояния , а также расширенные матрицы

, , ,

тогда окончательно получим систему уравнений:

(7)

Таким образом, учет запаздывания управляющего сигнала при приводит к увеличению размерности системы на .