Теорема о пересечении лин.об.

Если X, Y€∩ V, то X, Y €V для каждой оболочки V, входящей в множ., значит, α Х + β У € V для всех α, β €R, а это и дает нужное включение α Х+β Y€∩ V.
13.Линейная зависимость. Теорема о линейной зависимости.

Если линейная комбинация α ₁x₁+..α _nx_n=0 при α ₁≠ 0 то система векторов х1х2..xn линейно зависима, иначе лин. независ.

(i) система векторов {Х...Xk} с линейно за-

висимой подсистемой сама линейно зависима;

(ii) любая часть линейно независимой системы

векторов линейно независима;

(iii) среди линейно зависимых векторов

хотя бы один является линейной комбинацией ос-

тальных;

(iv) если один из векторов линейно

выражается через остальные, то векторы

линейно зависимы;

(v) если векторы Х1...Хк линейно независимы,

а векторы Х1..Хк, X линейно зависимы, то X —

линейная комбинация векторов Х1..., Хк;

(vi) если векторы Х1…Xk линейно независимы

и вектор Xk+1 нельзя через них выразить, то система

Х1 Хk, Xk+1 линейно независима.

Доказательство, (i) Пусть первые

s векторов Х1..., Xs, s < k, линейно зависимы, т. е.

α ₁Х₁ +... + α _sX_s = 0,

где не все a_k равны нулю. Положив α _s+1 = а_k = 0, получим нетривиальную линейную за-

висимость

= 0.

Утверждение (ii) непосредственно следует из (i)

(рассуждение от противного).

(ш) Пусть, например, ak≠ 0 в соотношении

Тогда

x_k=-a₁/a_kX₁-…a_k-1/a_kX_k-1

(iv) Пусть, X_k=β ₁X₁+…+β _k-1X_k-1

a1=β 1..., a_k-1 = β _k-1, α k=-1 придем к α ₁x₁+..α _kx_k=0 c α _k≠ 0

(v) Нетривиальное соотношение

с β ≠ 0 дает в силу (iii) то, что нужно. Если, однако,

β = 0, то β 1= β k = 0, поскольку Х1.... Хк по

условию линейно независимы.

Утверждение (vi) следует из (v)
14.Базис и размерность линейной оболочки. Теорема о базисе и линейно независимой системе векторов.

Базис – система линейно независимых векторов

Т.Пусть V — линейная оболочка в Rⁿ с ба-

зисом Х1..., Xn -, базис S=> АY€S E L1, L2..Ln Y=L1X1+LnXn r≤ n

Y= L1X1+LnXn= β 1X1+…+β nXn => (α 1-β 1)x1+(α 2-β 2)x2+…(α n-β n)xn => x1, x2, xn-лин незав

15.Базис и размерность линейной оболочки. Теорема о размерности линейной оболочки.

S – линейная оболочка, тогда Е x1, x2…xn-базис S – число векторов в базисе S dimS rank(S)=dim(S)

если Y1, Y2,..Yk тогда n=k

x1≠ 0 если < x1> =S тогда x1-базис S

иначе Е x2≠ α 1x1 => x1, x2лин нез

х1 х2 хn – базис

2)Y₁Y₂Y_k k> n ]k> n =>

Y₁=L₁₁x₁+L₁₂x₂+..L_1nx_n

Y₂=L₂₁x₁+L₂₂x₂+L_2nx_n

Y_k=L_k1+L_k2x₂+L_knx_km

Е х₁ х₂..х_n≠ 0 такие, что Y₁+Y₂+…Y_k=0 противоречие
16.Ранг матрицы по строкам и столбцам. Теорема о неизменности ранга при элементарных преобразований.

Максимальное количество линейно независимых строк – ранг матрицы по строкам

т Элементарные преобразования матрицы не изменяют гориз и верт ранга

1)Aió Aj

Ai: =Ai+λ Aj

всякой независимой системе столбцов одной матрицы бу-

дет отвечать независимая система столбцов с теми же

номерами другой матрицы, чем и устанавливается ра-

венство

17.Ранг матрицы по строкам и столбцам. Теорема о равенстве рангов по строкам и столбцам.

Т Ранг матрицы по строкам равен по столбцам

от противного пусть строки х1..хm а столбцы y1..yn

xi1, x12, x1s – лин нез множ строк

yj1 yj2 yjr

s=r

Д: пусть s≠ r ]s> r

0=L₁x_i1+L₂x_i2+..L_sx_is

0=L₁a_i11+L₂a_i21+L₃x_in31

0=L₁a_i1n+L₂a_i2n+L_sx_in3sn

выберем столбцы j1 j2 jr

система имеет ненулевое решение, т к кол-во уравнений > кол-ва неизвестных

18.Ранг матрицы по строкам и столбцам. Теорема Кронекера-Капелли.

Система совместима < => rank(A)=rank(A/B)

Док-во:

(=>)

X₁A⁽¹⁾+X₁A⁽²⁾+…+X_nA⁽ⁿ⁾=B если это выполняется, то

V=< A^(1), A⁽²⁾, …, A⁽ⁿ⁾> €B => rank(A)=rank(A|B)

(< =) Если ранги равны, то

V’=< A⁽¹⁾, A⁽²⁾, …A⁽ⁿ⁾, B>

dimV=dimV`

имеют один базис A(ⁱ¹), …, A(ⁱⁿ) => BэV

19.Произведение матриц. Свойства произведения матриц. Транспонирование матриц. Теорема о ранге произведения матриц.

Rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}

Док-во:

C=AB, A_m*s, B_s*n, C_m*n

C⁽¹⁾=A⁽¹⁾B, …, C⁽ⁱ⁾=A⁽ⁱ⁾B

V=< A⁽¹⁾, …, A^(m)> V`=< C⁽¹⁾, …, C^(m)>

Выберем базис по 1 оболочке

A⁽ⁱ¹⁾, …, A^(ir) - базис V A A^(j)=X₁A^(j1)+…+x^rA^(jr)=> C^(j)=X₁C⁽ⁱ¹⁾+…+X^rC(^ir) => dimV`≤ dimV

Св-ва:

1)(AB)C=A(BC)-ассоциативность

(A+B)C=AC+BC -коммуникативность

AB≠ BA

Транспонирование матриц At

(a₁₁ … a_1n) (a₁₁…a_m1)

A=(a_m1 …a_mn) => A^t=(a1_n… a_nm)

(α A+β B)^t=α A^t+β B^t

(AB)^t=A^tB^t

20.Обратная матрица. Методы вычисления обратной матрицы.

Если E кв матр A и А^-1, удовлетворяющие условию:

AA^-1 = A^-1A = E,

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

1)Метод миноров

1)С помощью присоединенной матрицы

Записать исходную матрицу с присоединенной к ней единичной. Алгебраическими преобразованиями, проводимыми со строками полученной составной матрицы приводим ее к такому виду, чтобы в левой половине стояла единичная матрица. Тогда в правой половине будет стоять матрица

21.Определитель. Явная формула. Изменение определителя при элементарных преобразованиях. Теорема об определителе транспонированной матрицы.
22.Определитель. Теорема о свойствах определителя.

1)линейность

C=α A+β B=> |C|=α |A|+β |B| не меняется определитель

2)кососимметричность

A=[A₍₁₎, …, A_(k), A_(k+1), …, A_(n)] |

A=[A₍₁₎, …, A_(k), A_(k+1), …, A_(n)] | => |A|=-|A`|

если 2 одинаковые строки или 0 строка– то опред равен 0

3)Определитель транспонированной матрицы равен опр исходной (каждая сокб строк и столбц встречается 1 раз)

4)Определитель единичной матрицы равен 1 │ E│ =1

C=AB=> │ C│ =│ A│ │ B│

5)Определитель вырожденной матрицы равен 0 │ А│ =a₁₁a₂₂…a_nn

23.Определитель. Определитель треугольной матрицы. Разложение определителя по строке и столбцу.
24.Определитель Вандермонда. Определитель матрицы вида A C 0 B

|1 1 … 1| | 1 1 … 1 |

|X₁ X₂ … X_n | | 0 x2-x1 |

|X₁² X₂² … X_n²| | 0 x22-x2x1 … xn^2-xnx1 |=

| … | | 0 … |

|X₁^n-1 X₂^n-1…X_n^n-1| | 0 x2^(n-1)-x1 ^(n-1) … xn^(n-1)-xn^(n-1)x1|

|1 1 … 1 |

| x2 x3 … xn |

(x2-x1)(x3-x1)…(xn-x1)= | … | = П(Xj-Xi)

| x2^(n-1) x3^(n-1) … xn^(n-1)| 1< i< j< n (или равно)

|a11 … a1n … c1n+1 … c 1n+k|

|an1 … ann … cnn+1 … c nn+k| |AC|

|0 … 0 … b11 … b 1k |= |0B|=|A|*|B|

|0 … 0 … bk1 … bkk |

25.Определитель произведения матриц. Определитель обратной матрицы.