Дифференциальное и интегральное исчисление. ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Область определения функции Область определения функции имеет вид

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Область определения функции
Область определения функции имеет вид …

Решение:
Данная функция определена, если Возведем обе части этого неравенства в квадрат и получим или Решив последнее неравенство, например, методом интервалов, получаем:

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Предел функции
Предел равен …

Решение:

Разделим почленно числитель и знаменатель на , где – степень многочлена в знаменателе. То есть разделим на .

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Точка является точкой разрыва функции …

Решение:
Точку называют точкой разрыва функции если она не является непрерывной в этой точке. В частности, точками разрыва данных функций являются точки, в которых знаменатель равен нулю, то есть или:

Точка :
не является точкой разрыва функции так как область определения функции имеет вид и
не является точкой разрыва функции так как область определения функции имеет вид и
не является точкой разрыва функции так как область определения функции имеет вид и
Таким образом, точка является точкой разрыва функции

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Производные первого порядка
Функция задана в параметрическом виде
Тогда производная первого порядка функции по переменной x имеет вид …

Решение:

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Производные высших порядков
Производная третьего порядка функции равна …

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
Максимум функции равен …

Решение:
Определим критические точки функции, для чего вычислим производную первого порядка и решим уравнение а именно Тогда
Определим производную второго порядка и вычислим ее значения в критических точках:

Так как то будет точкой максимума.
Следовательно,

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Асимптоты графика функции
Горизонтальная асимптота графика функции задается уравнением вида …

Решение:
Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при если существует
Вычислив предел

получаем уравнение горизонтальной асимптоты или

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Значение частной производной функции в точке равно …

			– 2

ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Основные методы интегрирования
Множество первообразных функции имеет вид …

Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда

ЗАДАНИЕ N 10
Тема: Свойства определенного интеграла
Для определенного интеграла справедливо равенство …

Решение:
Пусть
Тогда то есть функция является четной. А определенный интеграл от четной функции по симметричному интервалу можно представить как

ЗАДАНИЕ N 11
Тема: Методы вычисления определенного интеграла
Определенный интеграл равен …

Решение:
Для вычисления данного определенного интеграла произведем замену переменных: и перейдем к новым пределам интегрирования:
Тогда

ЗАДАНИЕ N 12
Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке

равна …