Дифференциальное и интегральное исчисление

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, изображенной на рисунке

равна …

Решение:
Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле где а Тогда

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Методы вычисления определенного интеграла
Несобственный интеграл …

			равен
			равен
			расходится
			равен 1

Решение:
Для вычисления данного несобственного интеграла применим обобщенную формулу Ньютона – Лейбница вида где – первообразная функции
Вычислим предварительно неопределенный интеграл:

Тогда

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Основные методы интегрирования
Множество первообразных функции имеет вид …

Решение:
Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции методом интегрирования по частям по формуле Тогда

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Свойства определенного интеграла
Функция задана и непрерывна на всей числовой прямой, a и b – действительные числа. Тогда верно утверждение …

Решение:
Если функция задана и непрерывна на всей числовой прямой, и , , – действительные числа, то справедливо следующее свойство определенного интеграла:

или Тогда, например, при

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Приложения дифференциального исчисления ФОП
Максимум функции равен …

Решение:
Определим критические точки функции, для чего вычислим производную первого порядка и решим уравнение а именно Тогда
Определим производную второго порядка и вычислим ее значения в критических точках:

Так как то будет точкой максимума.
Следовательно,

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Производные первого порядка
Функция задана в неявном виде Тогда производная первого порядка функции по переменной x имеет вид …

Решение:
Продифференцируем по обе части уравнения
Тогда

Решив последнее уравнение относительно получаем:

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Производные высших порядков
Производная третьего порядка функции равна …

Решение:
Вычислим производную первого порядка:

Вычислим производную второго порядка как производную от производной первого порядка:

Тогда производная третьего порядка вычисляется как производная от производной второго порядка, то есть

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Асимптоты графика функции
Вертикальная асимптота графика функции задается уравнением вида …

Решение:
Прямая является вертикальной асимптотой графика функции если эта функция определена в некоторой окрестности точки и или Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода. Определим точки разрыва данной функции. Это точки, в которых знаменатель равен нулю, то есть или Однако точки и не принадлежит области определения функции имеющей вид
Вычислим односторонние пределы функции в точке
и
Следовательно, прямая будет вертикальной асимптотой.

ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная производная второго порядка функции имеет вид …

Решение:
При вычислении частной производной функции по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда
и

ЗАДАНИЕ N 10
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва
Для функции точка является точкой …

			разрыва второго рода
			разрыва первого рода
			непрерывности
			устранимого разрыва

Решение:
Вычислим односторонние пределы функции в точке


Так как один из односторонних пределов в точке а именно то точка является точкой разрыва второго рода.

ЗАДАНИЕ N 11
Тема: Область определения функции
Область определения функции имеет вид …

Решение:
Данная функция определена, если, во-первых, определен а во-вторых, знаменатель дроби не равен нулю, то есть Тогда

Окончательно получаем:

ЗАДАНИЕ N 12
Тема: Предел функции
Предел равен …

Решение:

Данный предел можно вычислить с использованием второго замечательного предела и его следствий вида
Тогда