Отношение толерантности

Отношение эквивалентности

Отношение R обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности называется отношением эквивалентности. Для эквивалентных отношений вместо записи x_iRx_j обычно пишут x_i ~ x_j (читается: " x_i эквивалентно x_j"). Эквивалентными отношениями являются: " быть конгруэнтными" на множестве плоских треугольников, " быть одного размера" на множестве образцов обуви, " быть родственниками" на множестве людей и т.п.

Введение отношения эквивалентности R на множестве M определяет разбиение всех элементов этого множества на классы эквивалентности M₁, M₂,..., M_m. Множество всех классов эквивалентности {M₁, M₂,..., M_m} образует фактор множество множества M и обозначается M/R. При этом каждый элемент данного класса является полномочным представителем этого класса. Совокупность по одному и только по одному представителю каждого класса называется системой представителей соответствующего отношения эквивалентности.Примером введения отношения эквивалентности и образования системы представителей может служить формирование представительного органа власти на основе выборов.

Отношение толерантности

Отношение , заданное на множестве M называется отношением толерантности, если оно рефлексивно, симметрично и не транзитивно. Обозначение: x_i x_j | x_i, x_j M. Очевидно, что если потребовать транзитивность всех пар элементов из M, то получим эквивалентное отношение. Следовательно, толерантность может рассматриваться как расширение эквивалентности. Эквивалентность в смысле равенство, толерантность в смысле сходства, похожести. Содержательно толерантность означает следующее. Предполагается, что объект находится в данном отношении сам с собой (рефлексивность), сходство двух объектов не зависит от порядка сравнения (симметричность), но если первый объект сходен со вторым, а второй сходен с третьим, то не обязательно, что первый был сходен с третьим.

Толерантность позволяет формализовать интуитивные представление о сходстве объектов, их похожести в чем-то. Например, отношение = " быть на расстоянии не более r", заданное на множестве точек на плоскости. Рис.1.15 иллюстрирует этот пример. Точка A отстоит от B и C, а точка B от Д и C не более чем на r. В то время как A находится от Д на расстоянии значительно большим r.

Другие примеры толерантности: " отличаться не более одной буквой" на множестве слов из четырех букв (например: арка, река, рака), " совпадать по количеству цветов" (белый+синий+красный, зеленый+красный+желтый) на множестве шарфов, " совпадать по году постройки” на множестве зданий города и т.д.