Отношение порядка

Отношение R, обладающее свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, называется отношением порядка. Если на данном множестве введено отношение порядка, то это множество называется упорядоченным. В этом случае вместо x_iRx_j пишут x_i x_j. Множество совершенно упорядочено, если для любых двух элементов x_i и x_j из множества M имеет место либо x_i x_j, либо x_j x_i. В противном случае говорят, что множество частично упорядочено. Например, отношение " быть выше" на множестве деревьев - совершенно упорядочено, а отношение " быть делителем" на множестве целых чисел - частично упорядочено.

Пусть каждому элементу x из множества M по некоторому правилу f поставлено в соответствие вещественное число f(x) - вес элемента x. Введение веса для каждого элемента позволяет упорядочить их по мере возрастания (убывания) весов, а затем сравнивать элементы в соответствии с присвоенным весом. Примерами упорядочения посредством введения весов являются: присвоению каждому товару его цены, каждому станку его надежности, каждому телу его веса, объема и т.п. Как будет показано ниже, взвешивание вариантов решений посредством формирования комплексного показателя качества является одним из самых распространенных способов решения проблемы выбора на множестве разнокачественных признаков.

Если отношение обладает свойствами антирефлексивности, асимметричности и транзитивности, то оно называется отношением строгого порядка (обозначается x_i> x_j). Примером отношения строгого порядка является порядок букв в фиксированном алфавите. Упорядочение букв в алфавите позволяет, в свою очередь, упорядочить слова в словарях (лексикографическое упорядочение слов).