![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Миноры и алгебраические дополнения
Рассмотрим определитель n -го порядка (14.3). Выделим в нем какой-либо элемент аij и вычеркнем i- ю строку и j- й столбец, на пересечении которых расположен этот элемент. Полученный определитель (n - 1)-го порядка называется минором Mij элемента aij определителя Δ n. Пример 1. Найти минор М 32 определителя четвертого порядка
Решение. Минор М 32 элемента a 32 получается вычеркиванием из данного определителя 3-й строки и 2-го столбца. Полученный определитель 3-го порядка равен
Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента aij определителя (14.3) называется число
Так, для приведенного выше примера алгебраическое дополнение равно
Миноры и алгебраические дополнения играют важную роль в алгебре и ее приложениях. Одним из таких применений является основополагающая теорема о способе вычисления определителей. ТЕОРЕМА 1. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения:
Формула (14.4) называется разложением определителя по i- й строке. Доказательство этой теоремы мы опускаем. Аналогичное утверждение имеет место и для разложения определителя по любому столбцу. Формула (14.4) сводит вычисление определителя n -го порядка к вычислению n определителей (n - 1)-го порядка. Зная формулу (14.2) вычисления определителя 3-го порядка, мы, например, можем найти определитель 4-го порядка путем разложения его на сумму алгебраических дополнений по формуле (14.4). Пример 2. Вычислить определитель 4-го порядка
Решение. В принципе, разложить определитель можно по любой строке (столбцу), согласно формуле (14.4). Однако объем вычислений можно существенно уменьшить, если выбрать такую строку (столбец), в которой побольше элементов равно нулю. Наиболее подходящей в нашем случае является вторая строка. Разложение по ней определителя имеет вил
|