Математический анализ их решения

Оптимизационная модель – это экономико-математическая модель, которая охватывает некоторое число вариантов производства, распределения или потребления продукции и предназначена для выбора таких значений переменных, характеризующих эти варианты, чтобы был найден наилучший из них.

Структура оптимизационной модели обязательно включает целевую функцию, максимум или минимум которой требуется найти (в случае многокритериальной задачи модель может включать несколько целевых функций), а также ограничения в виде системы уравнений или неравенств.

В качестве примера оптимизационной модели можно рассматривать модель задачи о красках (пример 1.1.1).

Формализованное описание оптимизационной модели, как правило, представляется следующей последовательностью шагов.

Шаг 1. На этом шаге выясняем для определения каких величин должна быть построена модель, т.е. определяются переменные модели. В задаче о красках, необходимо найти суточные объемы производства краски для наружных работ (x_n) и краски для внутренних работ (x_v).

Шаг 2. Формализовано описываем ограничения, которые должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы. В задаче о красках имеются четыре ограничения, которым должны быть подчинены переменные модели:

- суточный расход продукта И1 не должен превышать 6т

1*x_n+2*x_v£ 6 (3.1.1)

- суточный расход продукта И2 не должен превышать 8т

2* x_n+1*x_v£ 8 (3.1.2)

- суточное предложение красок для наружных и внутренних работ должно соответствовать суточному спросу:

(3.1.3)

(3.1.4)

- неявные ограничения, описывающие, что объем производства красок не может быть отрицательным

(3.1.5)

Шаг 3. Формальное описание критерия выбора наилучшего варианта. В данной задаче максимизируется суточная выручка от реализации красок для наружных и внутренних работ соответственно в объемах () и ():

Z=3* x_n+2*x_v®max (3.1.6)

Модель (3.1.1) –(3.1.6) представляет собой оптимизационную модель для решения задачи о красках.

С целью более осмысленного построения модели приведем более подробную экономическую интерпретацию соотношений модели на примере соотношения (3.1.1). Построение интерпретации других соотношений проводится аналогично.

Каждое слагаемое соотношения (3.1.1) имеет четкую экономическую интерпретацию: 1*x_{n —} это не что иное как произведение нормы расхода ресурса И1 для производства краски для наружных работ (1 т/т) на суточный объем производства краски для наружных работ (x_n), что представляет расход ресурса И1 для производства суточного объема красок для наружных работ (в объеме x_n), 2*x_v — эторасход ресурса И1 для производства суточного объема красок для внутренних работ (в объеме x_v). Следовательно, сумма этих показателей, т.е. левая часть соотношения 3.1.1 – это суточный расход ресурса И1. В правой части соотношения указан суточный запас сырья И1 (6т). Вместе левая и правая части со знаком £ читаются следующим образом: суточный расход сырья И1 не должен превышать его суточного запаса.

Вообще говоря, на практике выполнить формализованное описание модели гораздо сложнее. Во-первых, количество переменных достаточно большое и может исчисляться сотнями. Во-вторых, при таком количестве переменных приходится работать с большими массивами входной информации, при этом разработчику модели приходится самостоятельно осуществлять поиск входной информации. Если же расчеты по оптимизационной модели выполняются на прогнозный период, то требуется весь массив входной информации прогнозировать. Например, в нашем примере в качестве входной информации выступают нормы расхода ресурсов, суточный спрос на краски, суточные запасы ресурсов, цены на краски. Можно предположить при условии отсутствия технологических изменений, что нормы расхода ресурсов И1, И2 для производства краски останутся на уровне отчетного периода. Что касается суточного спроса на краски, суточных запасов ресурсов и цен, то, учитывая подвижность этих показателей в зависимости от динамики экономической конъюнктуры, на прогнозный период эти величины требуют обоснования. Это могут быть экспертные оценки, или использование трендовых моделей, или факторных моделей.

После формального описания модели осуществляется поиск оптимального решения. В зависимости от структуры оптимизационной модели используются различные методы математического программирования (подробнее см. 3.1.2). Компьютерные технологии позволяют осуществлять решение модели с использованием пакетов прикладных программ, не углубляясь в математические тонкости нахождения оптимального решения (см.3.1.3). Например, решение модели (3.1.1)-(3.1.6) возможно с помощью команды Поиск решения в системе Excel.

Решение данной модели следующее: x_v =4/3, x_n =10/3, Z =38/3. Это означает, что при указанных суточных запасах ресурсов и суточном спросе оптимальная производственная программа предполагает суточный объем производства краски для внутренних работ в объеме 4/3 т, для наружных работ – 10/3 т. При этом выручка от реализации составит 38/3тыс.у.е. Любая другая производственная программа позволит получать выручку от реализации не выше указанной. В этом состоит сущность оптимального решения. Практическая реализация оптимальной производственной программы позволяет получать дополнительную прибыль без дополнительных затрат – только за счет эффективной организации производства.

При практическом использовании оптимизационной модели необходимо иметь представление о сложностях, с которыми может столкнуться пользователь модели, помимо формирования базы данных. Основная сложность состоит в неустойчивости оптимального решения: оптимальное решение востребовано только в том случае, если достоверно известна входная информация модели. Дело в том, что небольшие изменения входной информации способны привести к значительным изменениям оптимального решения. Например, если в примере 1.1.1 (задача о красках) неправильно был спрогнозирован суточный запас ресурсов и запас ресурса И1 составил не 6т, а 5, 5т; а запас ресурса И2 не 8т, а 8, 5т; то в этом случае оптимизационная модель имеет вид:

Z=3* x_n+2*x_v®max

1*x_n+2*x_v£ 5, 5

2* x_n+1*x_v£ 8, 5

.

Решение модели составит x_v =0, 8т, x_n =3, 8т. Если в исходной задаче оптимальная структура производственной программы предполагала, что 72% суточного выпуска составляет краска для наружных работ и 28% — для внутренних, то при небольшом изменении входных параметров оптимальная структура производства существенно изменяется: теперь оптимальная структура предполагает, что 83% суточного выпуска приходится на краску для наружных работ и 17% — для внутренних.

Устойчивость оптимального решения может быть определена в рамках анализа модели на устойчивость. С этой целью рассчитываются двойственные оценки, которые являются решением двойственной задачи (более подробно см. 3.1.2). Двойственная оценка y_i является характеристикой i -го ресурса и показывает изменение критериального показателя при изменении запаса ресурса на единицу. Иными словами, двойственная оценка y_i –это цена i -го ресурса, определяемая по степени вклада ресурса в формирование критериального показателя. Команда Поиск решения имеет функцию анализа модели на устойчивость, в рамках которой рассчитываются двойственные оценки. В нашем примере y_i =1/3, y₂ =4/3, y₃ =0, y₄ =0. Характеристикой ресурса И1 выступает y₁, y₂ характеризует ресурс И2, двойственные оценки y_3, y₄ являяются характеристиками спроса. Из экономического смысла двойственных оценок ясно, что увеличение запаса первого ресурса И1 на одну тонну приведет к увеличению выручки от реализации на 1/3 тыс.у.е., что может быть достигнуто за счет изменения оптимальной производственной программы. Увеличение запаса И2 на одну тонну позволит посредством изменения оптимальной программы получить дополнительно выручки 4/3 тыс.у.е. В то же время изменение спроса при на одну единицу имеющихся запасах И1 (6т) и И2 (8т) не повлияет на выручку от реализации и, следовательно, производственную программу.

Таким образом, из анализа модели на устойчивость можно сделать два вывода:

1. Оптимальная производственная программа не будет изменяться при дальнейшем увеличении спроса и неизменных запасах ресурсов И1, И2.

2. Наиболее дефицитным ресурсом, сдерживающим рост производства и, следовательно, увеличение выручки от реализации, выступает ресурс И2, поэтому наиболее эффективным является увеличение запаса именно этого ресурса.