Теоретико-множественная трактовка основных понятий теории вероятностей. Аксиомы теории вероятностей и их следствия

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: познакомить с элементарными сведениями из теории множеств; сформулировать аксиомы теории вероятностей, их следствия и правило сложения вероятностей.

Элементарные сведения из теории множеств

Множеством называется любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества.

Примеры множеств: множество студентов на лекции; множество точек на плоскости, лежащих внутри круга радиуса r; множество точек на числовой оси, расстояние от которой до точки b с абсциссой а не превышает d; множество натуральных чисел.

Множества обозначаются по-разному. Множество M натуральных чисел от 1 до 100 может быть записано как

целое;

Множество точек на числовой оси, расстояние от которой до точки b с абсциссой а не превышает d, можно записать в виде

или ,

где x – абсцисса точки.

Множество точек плоскости, лежащих внутри или на границе круга радиуса r с центром в начале координат,

или

где x, y – декартовы координаты точки.

Еще одна запись этого множества

,

где – одна из полярных координат точки.

По числу элементов множества делятся на конечные и бесконечные. Множество конечно и состоит из 100 элементов. Но множество может состоять и из одного элемента и даже вообще не содержать элементов.

Множество всех натуральных чисел бесконечно, также как бесконечно множество четных чисел .

Бесконечное множество называется счетным, если все его элементы можно расположить в какой-то последовательности и пронумеровать (оба множества, и , являются счетными).

Множества S и C бесконечны и несчетны (их элементы нельзя пронумеровать).

Два множества A и B совпадают, если они состоят из одних и тех же элементов: и . Совпадение множеств обозначается знаком равенства: А=В. Запись обозначает, что объект а является элементом множества А или " а принадлежит А ". Другая запись означает, что " а не принадлежит А ".

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .

Множество В называется подмножеством (частью) множества А, если все элементы В содержатся и в А, и обозначается как или . Например, .

Подмножество может быть равно самому множеству. Графически можно изобразить соотношение множества и подмножества, как показано на рис. 2.1, где каждая точка фигуры В принадлежит и фигуре А, т. е. .

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество , состоящее из всех элементов А и всех элементов В. Таким образом, объединение – это совокупность элементов, принадлежащих хотя бы одному из объединяемых множеств.

Например: .

Геометрическая интерпретация объединения двух множеств А и В показана на рис. 2.2.

Аналогично определяется объединение (сумма) нескольких множеств

,

где результирующее множество есть множество всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств: .

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество D, состоящее из элементов, входящих одновременно и в А, и в :

.

Геометрическая интерпретация пересечения представлена на рис. 2.3.

Аналогично определяется пересечение нескольких множеств

как множество, состоящее из элементов, входящих одновременно во все множества.

Операции объединения (сложения) и пересечения (умножения) множеств обладают рядом свойств, которые аналогичны свойствам сложения и умножения чисел:

1. Переместительное свойство:

.

2. Сочетательное свойство:

.

3. Распределительное свойство:

.

Прибавление пустого множества и умножение на пустое множество аналогичны соответствующим операциям над числами, если считать нуль за пустое множество:

.

Некоторые операции над множествами не имеют аналогов в обычных операциях над числами, в частности

.

Аксиомы теории вероятностей и их следствия.

Правила сложения вероятностей

Пользуясь элементарными сведениями по теории множеств, можно дать теоретико-множественную схему построения теории вероятностей и ее аксиоматику.

При опыте со случайным исходом имеется множество всех возможных исходов опыта. Каждый элемент этого множества называют элементарным событием, само множество – пространством элементарных событий. Любое событие А в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества : . Если же в свою очередь множество А распадается на несколько непересекающихся подмножеств ( при ), то события называют " вариантами" события А. На рис. 2.4 событие А распадается на три варианта: .

Например, при бросании игральной кости пространство элементарных событий . Если событие , то варианты события А: ,

т. е. .

Подмножеством множества можно рассматривать и само – оно будет в этом случае достоверным событием. Ко всему пространству элементарных событий добавляется еще и пустое множество ; это множество рассматривается тоже как событие, но невозможное.

Теоретико-множественное толкование ранее рассмотренных свойств событий сводится к следующему:

1. Несколько событий образуют полную группу, если , т. е. их сумма (объединение) есть достоверное событие.

2. Два события А и В называются несовместными, если соответствующие им множества не пересекаются, т. е. . Несколько событий называются попарно несовместными, если появление любого из них исключает появление каждого из остальных: при .

3. Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, илиобоих событий вместе. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из них.

4. Произведением двух событий А и В называется событие D, состоящее в совместном выполнении события А и события В. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий.

5. Противоположным по отношению к событию А называется событие , состоящее в непоявлении А и соответственно дополняющее событие А до (см. рис. 2.5).

На основе изложенного толкования событий как множеств формулируются аксиомы теории вероятностей.

Каждому событию А ставится в соответствие некоторое число, называемое вероятностью события . Поскольку любое событие есть множество, то вероятность события есть функция множества.

Эти вероятности событий должны удовлетворять следующим аксиомам:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

.

2. Если А и В – несовместные события, т. е. , то

.

Эта аксиома легко обобщается с помощью сочетательного свойства сложения на любое число событий. Если при , то

, (2.1)

т. е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Эту аксиому называют " теоремой" сложения (для схемы случаев она может быть доказана), или правилом сложения вероятностей.

3. Если имеется счетное множество несовместных событий ( при ), то

.

Эта аксиома не выводится из предыдущей аксиомы и поэтому формулируется как отдельная.

Для схемы случаев (схемы урн), т. е. для событий, обладающих свойствами полноты, несовместности и равновозможности, можно вывести классическую формулу (1.1) для непосредственного подсчета вероятностей из правила сложения (2.1).

Пусть результаты опыта представляются в виде n несовместных случаев . Случай благоприятен событию А, если он представляет подмножество А (), или, иначе говоря, это вариант события А. Так как образуют полную группу, то

.

Но все случаи несовместны, и к ним применимо правило сложения вероятностей

.

Кроме этого, так как все события равновозможны, то

.

Благоприятные событию случаи образуют его вариантов, и так как вероятность каждого из них равна , то по правилу сложения получаем

.

Но это и есть классическая формула (1.1).

Следствия правила сложения вероятностей

1. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т. е. если

при ,

то

.

Доказательство. Так как события несовместны, то к ним применимо правило сложения

.

2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

,

так как события А и образуют полную группу.

Правило широко используется в задачах, когда проще вычислить вероятность противоположного события.

3. Если события А и В совместны, т. е. , то

. (2.2)

Доказательство. Представим как сумму несовместных (непересекающихся) вариантов (см. рис. 2.6)

.

По правилу сложения

. (2.3)

Но

,

,

откуда получаем

После подстановки полученных выражений в (2.3) имеем

что и требовалось доказать.

Формулу (2.3) можно вывести и для более чем двух совместных событий.

Лекция 3