![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Случайных величин
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики положения и моменты непрерывных и дискретных случайных величин. Числовые характеристики положения Закон распределения полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения. Но часто достаточно указать только отдельные числовые параметры, которые позволяют в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения. Такие параметры называются числовыми характеристиками случайной величины. Среди числовых характеристик можно выделить характеристики положения, т. е. некие средние, ориентировочные значения случайной величины, около которых группируются ее возможные значения. Математическое ожидание. Из характеристик положения наибольшую роль играет математическое ожидание, которое иногда называют просто средним значением. Определим математическое ожидание исходя из механической интерпретации распределения случайной величины. Если считать, что единичная масса распределена между точками на оси абсцисс
тогда
Это среднее взвешенное значение случайной величины Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всевозможных ее значений на вероятности этих значений. В том случае, когда
Но бесконечная сумма может и расходиться, т. е. соответствующая случайная величина Пример. Случайная величина
имеет расходящееся математическое ожидание, так как
и, значит, у такой случайной величины математического ожидания не существует. При переходе к непрерывной случайной величине необходимо в формуле (4.12) заменить суммирование интегрированием, а вероятность – элементом вероятности:
Область интегрирования определяется областью существования функции Для смешанной случайной величины можно записать, что
где сумма распространяется на все значения Пользуясь интегралом Стилтьеса, можно записать выражение для математического ожидания любой случайной величины
Мода. Следующая характеристика положения – это мода. Модой случайной величины Медиана. Еще одна характеристика положения непрерывных случайных величин. Медианой непрерывной случайной величины
т. е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина Геометрически медиана – это координата той точки на оси Моменты. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение Другие числовые параметры случайных величин характеризуют различные особенности распределения. Особое значение имеют начальные и центральные моменты. Начальным моментом
Для дискретной случайной величины
где Для непрерывной случайной величины по аналогии имеем
где Необходимо отметить, что ранее введенная характеристика положения – математическое ожидание случайной величины – есть не что иное, как первый начальный момент, т. е. Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания
Очевидно, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю:
Аналогично и для непрерывной случайной величины. Центрирование случайной величины равносильно переносу начала отсчета в точку Центральным моментом
При этом для дискретной случайной величины получаем
а для непрерывной
Для любой случайной величины
Центральные и начальные моменты связаны между собой. Так, для моментов второго порядка
Аналогично для третьего порядка
Особое значение имеет второй центральный момент
Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины. Для вычисления дисперсии служат формулы:
Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию ее квадрата минус квадрат математического ожидания. Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние, разбросанность случайной величины около ее математического ожидания. Само слово дисперсия означает " рассеяние". Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, и поэтому часто используется среднее квадратичное отклонение
Для неотрицательной случайной величины
Таким образом, основные числовые характеристики случайной величины 1. Математическое ожидание неслучайной величины С равно самой неслучайной величине С:
2. Дисперсия неслучайной величины С равна нулю, так как у такой величины нулевое рассеивание
3. При прибавлении к случайной величине Х неслучайной величины С к ее математическому ожиданию прибавляется та же величина:
4. При прибавлении к случайной величине Х неслучайной величины С ее дисперсия не изменяется:
5. При умножении случайной величины Х на неслучайную величину С на ту же величину умножается ее математическое ожидание:
6. При умножении случайной величины Х на неслучайную величину С ее дисперсия умножается на
7. При умножении случайной величины Х на неслучайную величину С ее среднее квадратичное отклонение умножается на модуль
Третий центральный момент
так как каждому положительному слагаемому соответствует равное по модулю отрицательное. Третий центральный момент
На рис. 4.17 приведены две плотности распределения: у Четвертый центральный момент характеризует островершинность (" крутость") распределения. Это свойство определяется с помощью так называемого эксцесса
За норму выбирается нормальное распределение, у которого отношение
Лекция 7
|