![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Числовые характеристики системы двух случайных величин. -мерный случайный вектор
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты, ковариацию, коэффициент корреляции и регрессию; описать двумерное нормальное распределение; сформулировать закон распределения и найти числовые характеристики Начальные и центральные моменты Обычно рассматривают в качестве числовых характеристик системы случайных величин начальные и центральные моменты различных порядков. Начальным моментом порядка
Центральным моментом порядка
где Для системы дискретных случайных величин
а для системы непрерывных случайных величин
Порядок моментов определяется суммой индексов Начальные моменты первого порядка – это математические ожидания случайных величин
Отметим, что точка Центральные моменты первого порядка равны нулю: Начальные моменты второго порядка:
Начальный момент Центральные моменты второго порядка:
Первые два центральных момента – это дисперсии случайных величин Ковариация Для системы двух случайных величин
при этом Дисперсию можно рассматривать как частный случай ковариации, т. е.
Для независимых случайных величин ковариация всегда равна нулю. Докажем это утверждение.
но для независимых случайных величин по теореме умножения плотностей имеем
Следовательно,
Таким образом, доказано, что ковариация двух независимых случайных величин равна нулю. Ковариация характеризует степень зависимости случайных величин и их рассеивание вокруг точки
Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий этих величин. Размерность ковариации, также как и дисперсии, равна квадрату размерности случайной величины. Степень зависимости случайных величин
который характеризует степень линейной зависимости, проявляющейся в том, что при возрастании одной из случайных величин другая также проявляет тенденцию возрастать или, наоборот, убывать. Если
Модуль коэффициента корреляции При независимости случайных величин
Если коэффициент корреляции равен нулю, то говорят, что случайные величины Регрессия Условным математическим ожиданием одной из случайных величин, входящих в систему Для дискретных случайных величин
где Для непрерывных случайных величин
где Условное математическое ожидание случайной величины Для независимых случайных величин линии регрессии Двумерное нормальное распределение Система двух непрерывных случайных величин
Это двумерное нормальное распределение, или нормальный закон распределения на плоскости, который полностью определяется заданием его числовых характеристик: Условные законы распределения:
Каждый из этих условных законов распределения является нормальным с условным математическим ожиданием и условной дисперсией, определяемой по формулам: Отсюда следует, что для системы нормально распределенных случайных величин
При
т. е. если две нормальные случайные величины Закон распределения и числовые характеристики Закон распределения системы
Свойства функции распределения 1. 2. Если хотя бы один из аргументов 3. Функция распределения любой подсистемы
Чтобы определить функцию распределения
4. Функция распределения 5. Если случайные величины
Для системы непрерывных случайных величин функция распределения
которая является совместной плотностью распределения системы непрерывных случайных величин
Свойства совместной функции распределения: 1. 2. 3. Если случайные величины
Закон распределения системы 1.
2.
3.
Учитывая, что дисперсия случайной величины
Так как
Вместо матрицы ковариаций можно записать матрицу коэффициентов корреляции:
где Отсюда единицы по главной диагонали в матрице (5.29). Если же случайные величины попарно не коррелированные, т. е.
Иногда рассматривают условное математическое ожидание одной из случайных величин, например
Это условное математическое ожидание называется регрессией Регрессия будет линейной, если поверхность регрессии описывается линейной функцией, т. е.
где В двумерном случае линия регрессии прямая, в трехмерном – плоскость; в общем случае – гиперплоскость в пространстве Для системы случайных величин
Многомерное нормальное распределение Совместная плотность распределения вероятности системы произвольного числа
где Таким образом, параметрами · вектор математических ожиданий · ковариационная матрица Если нормально распределенные случайные величины
ее определитель
Таким образом, совместную плотность распределения можно привести к виду
Для нормально распределенной системы случайных величин из попарной некоррелированности отдельных величин, входящих в систему, следует их независимость.
|