Переход к новому базису

Коллоквиум по ЛА.

1)

ПЕРЕХОД К НОВОМУ БАЗИСУ

Пусть в пространстве имеется два базиса: и .

Первый условимся называть старым базисом, второй – новым. Каждый из векторов нового базиса, по Теореме 5.1, можно линейно выразить через векторы старого базиса:

(5.1)

Новые базисные векторы получаются из старых с помощью матрицы

При этом коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы. Матрица называется матрицей перехода от базиса к базису .

Определитель матрицы не равен нулю, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно и векторы , были бы линейно зависимы.

Обратно, если , то столбцы матрицы линейно независимы, и следовательно векторы , получающиеся из базисных векторов с помощью матрицы , линейно независимы и значит образуют некоторый базис. Таким образом, матрицей перехода может служить любая квадратная матрица порядка n с отличным от нуля определителем.

Рассмотрим теперь, как связаны между собой координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах. Пусть в старом базисе и - в новом. Подставляя в последнее равенство вместо их выражение из (5.1), получим, что

Таким образом, старые координаты вектора получатся из новых его координат с помощью той же матрицы , только коэффициенты соответствующих разложений образуют строки этой матрицы.

2) Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется недоопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Система уравнений разрешима тогда и только тогда, когда , где — расширенная матрица, полученная из матрицы приписыванием столбца .

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.
• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

3) Однородной СЛАУ называется система, все правые части которой равны нулю одновременно.

Однородная СЛАУ, записанная в матричном виде, всегда совместна, так как всегда является ее решением.

Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов.

4)

Теорема: (о структуре решения неоднородной СЛАУ): Общее решение неоднородной СЛАУ определяется формулой:

(15.6)

где - общее решение соответствующей однородной системы, а - частное решение неоднородной системы.

Для более простого нахождения частного решения, удобно взять свободные неизвестные равными нулю.

6)

Образ и прообраз (при отображении)

Элемент , который сопоставлен элементу , называется образом элемента (точки) (при отображении ).

Если взять целиком подмножество области определения функции , то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества , а именно подмножество области значений (функции ) вида

,

которое, называется образом множества (при отображении ). Это множество иногда обозначается как или .

Наоборот, взяв некоторое подмножество области значений функции , можно рассмотреть совокупность тех элементов области определения (функции ), чьи образы попадают в множество , а именно — множество вида

,

которое называется (полным) прообразом множества (при отображении ).

В том частном случае, когда множество состоит из одного элемента, скажем, , множество имеет более простое обозначение .

Функция называется сюръективной (или, коротко, сюръекция), если каждому элементу множества прибытия может быть сопоставлен хотя бы один элемент области определения. Функция называется инъективной (или, коротко, инъекция), если разным элементам множества сопоставлены разные элементы множества .