Обратное отображение

Основная статья: Обратная функция

Если отображение является взаимно однозначным или биективным (см. ниже), то определено отображение , у которого

• область определения (множество ) совпадает с областью значений отображения ;
• область значений (множество ) совпадает с областью определения отображения ;
• тогда и только тогда, когда .

Такое отображение называется обратным по отношению к отображению .

Отображение, у которого определено обратное, называется обратимым.

В терминах композиции функции, свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: и .

Отображения, у которых совпадают область определения и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями.

В частности, преобразование , которое сопоставляет каждой точке множества её саму или, что то же самое,

для каждого ,

называется тождественным.

Это отображение имеет специальное обозначение: или, проще, (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду). Такое обозначение обязано своим происхождением англ. слову identity («идентичность, тождественность»).

Другое обозначение тождественного преобразования — . Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве . Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют единичным.

• 7) Образом подмножества^[1] относительно линейного отображения A называется множество .
• Ядром линейного отображения называется подмножество , которое отображается в нуль:

Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве .

• Образом линейного отображения называется следующее подмножество :

8)

изоморфизм — это взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные операции.

Пусть и — поля. Биекция называется изоморфизмом, если для любых выполняется

1. ,
2. .

9) Лине́ йным отображе́ нием векторного пространства над полем в векторное пространство (лине́ йным опера́ тором из в ) над тем же полем называется отображение

,

удовлетворяющее условию линейности

,

.

для всех и .

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис . Пусть — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

,

где — координаты вектора в выбранном базисе.

10)