![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Решение задачи. 1. Тепловая схема однородного стержня .. ..3Стр 1 из 2Следующая ⇒
Оглавление 1. Тепловая схема однородного стержня……………………………..……..3 2. Двумерная пластина с теплообменом с поверхности в среду…………9 3. Нестационарный процесс распределения температур в однородном стержневом элементе…………………………………………………………19 5. Список использованной литературы…………………………………...25
Тепловая схема однородного стержня Рассмотрим одномерный стержень, поперечное сечение которого столь мало, чтобы можно было пренебречь изменением температуры по его сечению. В этом случае, температурное поле стержня является одномерным и изменяется только по оси х, направленной по длине стержня. Постановка задачи. Зададим граничные условия 3 рода, т.е. на границах стержня происходит теплообмен со средой. Для решения задачи примем следующие начальные данные: · температура среды и коэффициент теплоотдачи со стороны левой границы стержня равны: Та1=400 0С и α 1=5 Вт/м2 0С, со стороны правой – Та2=1000С и α 2=20 Вт/м2 0С; · длина стержня L равна 200 мм; · теплопроводность стержня λ = 0, 1 Вт/м 0С; · радиус стержневого элемента r= 5 мм. Решение задачи. Разобьем длину стержня сечениями перпендикулярными оси x на три конечных объема длиной Δ x=0.01мм и площадью сечения A, равной площади поперечного сечения стержня. Соответствующая тепловая схема приведена на рис.1.1. В центре каждого объема поместим по одному узлу, при этом номер узла совпадает с номером объема. Пронумеруем узлы тепловой схемы так, как показано на рис.1. от узла 1 (на левом торце стержня) до узла 3 (на правом торце стержня). а) б) Рисунок 1. Одномерный стержень, разбитый на конечные объемы (а) и его тепловая схема (б) Рассмотрим баланс потока теплоты в i-ом выделенном объеме, воспользовавшись интегральным уравнением теплового баланса
где Vi = A ∆ xi – объем i-го элемента; Si – площадь всей поверхности выделенного i-го объема. Индекс i относит рассматриваемые переменные к i-му выделенному объему. Поверхностный интеграл в левой части уравнения (1.1) выражает суммарный тепловой поток, пересекающий поверхность выделенного i-ro объема. Учитывая, что тепловой поток вдоль стержня одномерен (не изменяется в направлении перпендикулярном оси х), а тепловой поток с боковой поверхности стержня отсутствует (поскольку рассматривается теплоизолированный с боковой поверхности стержень) можно записать, например, для узла 2, что
где J2 и J3 - тепловые потоки на левой и павой границах выделенного объема. За положительное направление вектора теплового потока принято направление, соответствующее вытеканию из объема теплового потока. Так как, рассматриваемая задача является стационарной, т.е. dT/dt =0 и внутренние источники теплоты
Уравнения теплового баланса, записанные для узлов тепловой схемы, имеют вид:
где R1, R2, R3, R4 – тепловые сопротивления выделенных объемов между узлами. Баланс потоков теплоты, протекающих в ветвях соединенных с узлами 1, 2, 3 выражаются следующими уравнениями
Ориентированный граф тепловой схемы представлен на рис.2. Номера ветвей указаны в кружках. Рисунок.2. Ориентированный граф тепловой схемы В стационарном случае, вектор-столбец температур Т описывается матричным уравнением, при
Введя вектор-столбец тепловых потоков ветвей J=||J1 J2 J3 J4||Т, систему уравнений можно записать в матричном виде AJ=0 (7) Матрица A называется матрицей инциденции, для рассматриваемого случая имеет размерность 3*4 и равна:
Уравнение (7) является, по существу, дискретным уравнением баланса тепловых потоков в тепловой схеме. Вид матрицы A нетрудно понять. Строки матрицы соответствуют узлам графа и расположены согласно их номерам от 1 до 3 сверху вниз, а столбцы матрицы соответствуют ветвям графа, причем номер столбца равен номеру ветви в тепловой схеме. Разности температур в ветвях графа можно представить в виде вектора- столбца Δ T:
Введя вектор столбец температур узлов графа
простым перемножением легко убедится, что вектор-столбец (9) можно записать в следующем матричном виде:
где Сравнение матрицы инциденций A (8) и матрицы в соотношении (11) показывает, что последняя матрица является транспонированной по отношению к матрице А, т.е. равна АТ, поэтому вектор-столбец Δ Т (9) в соотношении (11) можно записать в матричном виде через транспонированную матрицу инциденций АТ, т.е. Δ Т=АТТ (13) Полученные матрично-топологические соотношения (7) и (9) устанавливают связь между тепловыми потоками в ветвях тепловой схемы и преобразование узловых температур в разности температур в ветвях. Матрица инциденций А отображает структуру тепловой схемы. Матрица А, естественным образом, была получена из системы уравнений баланса тепловых потоков в узлах графа. Для исчерпывающего описания графа тепловой схемы необходимо располагать соотношениями, связывающими тепловые потоки и разности температур в ветвях графа, в соответствии с элементами схемы, представленными ветвями. Выше было показано, что тепловой поток Ji в i-ой ветви равен Ji=giΔ Ti. Тогда связь векторов-столбцов J и Δ Т может быть записана в следующем матричном виде:
где G – квадратная матрица проводимостей ветвей размерностью М*М, М – количество ветвей графа. Матрица проводимостей G формируется следующим образом: если ветвь i представляет собой тепловую проводимость gi (кондуктивную или конвективную), то элемент ii матрицы G равен gi. Конвективные тепловые проводимости с торцов стержня, которые входят в ветви с номерами 1 и 4 равны соответственно Тепловые кондуктивные проводимости, которые входят в ветви с номерами 2 и 3 равны Строим матрицу проводимостей G:
Введем матрицу B, которая находится по формуле:
где АТ – транспонированная матрица А.
Подставляя выражения (8), (12), (15) и (16) в уравнение (18)
находим искомые температуры в узлах стержневого элемента.
Отсюда температуры равны: Т1=373.3 0С; Т2=240 0С; Т3=106.7 0С. Распределение температуры в стержневом термодинамическом элементе представлены на рис.3 Рисунок.3. График распределения температур по длине одномерного стержня 2. Двумерная пластина с теплообменом с поверхности в среду Рассмотрим двумерную пластину, пренебрегем изменением температуры по ее толщине. В этом случае, температурное поле пластины является двумерным и изменяется только по оси х и у. Зададим граничные условия 3 рода, т.е. на границах пластины происходит теплообмен со средой. Для решения задачи примем следующие начальные данные: · температуры сред и коэффициенты теплоотдачи со сторон границ пластины соответственно равны: Та1=400 0С, Та2=50 0С, Та3=500 0С, Та4=60 0С, α 1=3000 Вт/м2 0С, α 2=60 Вт/м2 0С, α 3=100 Вт/м2 0С, α 4=2000 Вт/м2 0С; · длина пластины L равна 80 мм; · теплопроводности материалов λ 1 = 50 Вт/м 0С, λ 2 =30 Вт/м 0С, λ 3 = 390 Вт/м 0С, λ 4 = 400 Вт/м 0С; · А0=0.0004 м2;
а) Та4 У4 У7 У10
У1 1 У2 2 У5 3 У8
R1 R2
R3 R4 R5 λ 1 λ 3
б)
g1 g2 g5 g8
g3 g6 g9 g12 g14 g11 g16
g18 g19 g21 g23
g20 g22 g24
Рисунок 4. Двумерная пластина (а) и ее тепловая схема (б) Рассмотрим баланс потока теплоты в i-ом выделенном объеме, воспользовавшись интегральным уравнением теплового баланса
где Vi = A ∆ xi – объем i-го элемента; Si- площадь всей поверхности выделенного i -го объема. Индекс i относит рассматриваемые переменные к i-му выделенному объему. Поверхностный интеграл в левой части уравнения (3.3.1) выражает суммарный тепловой поток, пересекающий поверхность выделенного i-ro объема. Так как, рассматриваемая задача является стационарной, т.е. dT/dt =0 Уравнения теплового баланса, записанные для узлов тепловой схемы, имеют вид:
где R – тепловые сопротивления выделенных объемов между узлами и рассчитываются А на границе материалов тепловые сопротивления рассчитываются как Конвективные тепловые проводимости, которые входят в ветви Соответственно тепловые проводимости равны g1=1.2; g2=0.5; g3=0.5; g4=0.024; g5=0.3; g6=0.4; g7=0.024; g8=0.04; g9=0.3; g10=0.024; g11=1.2; g12=2.2; g13=3.9; g14=1.15; g15=2.95; g16=0.04; g17=2; g18=1.2; g19=3.9; g20=0.8; g21=2; g22=0.8; g23=0.04; g24=0.8 В стационарном случае, вектор-столбец температур Т описывается матричным уравнением, при
Введя вектор-столбец тепловых потоков ветвей J=||J1 J2 J3 J4 J5 …… J24||Т, систему уравнений можно записать в матричном виде AJ=0 (22) Матрица A называется матрицей инциденций, для рассматриваемого случая имеет размерность 9*24 и равна:
Она получается путем сложения по горизонтали отдельных матриц в программе MathCAD с помощью функции augment
АТ – транспонированная матрица А
Уравнение (22) является, по существу, дискретным уравнением баланса тепловых потоков в тепловой схеме. Вид матрицы A нетрудно понять. Строки матрицы соответствуют узлам графа, а столбцы матрицы соответствуют ветвям графа, причем номер столбца равен номеру ветви в тепловой схеме. Разности температур в ветвях графа можно представить в виде вектора- столбца Δ T:
.
Введя вектор столбец температур узлов графа
Простым перемножением легко убедится, что вектор-столбец (3.3.6) можно записать в следующем матричном виде:
где Та - вектор-столбец известных температур в ветвях. Сравнение матрицы инциденций A и матрицы в соотношении (23) показывает, что последняя матрица является транспонированной по отношению к матрице А, т.е. равна Δ Т=АТТ (26)
Полученные матрично-топологические соотношения (3.3.4) и (3.3.8) устанавливают связь между тепловыми потоками в ветвях тепловой схемы и преобразование узловых температур в разности температур в ветвях. Матрица инциденций А отображает структуру тепловой схемы. Матрица А, естественным образом, была получена из системы уравнений баланса тепловых потоков в узлах графа. Для исчерпывающего описания графа тепловой схемы необходимо располагать соотношениями, связывающими тепловые потоки и разности температур в ветвях графа, в соответствии с элементами схемы, представленными ветвями. Выше было показано, что тепловой поток Ji в i-ой ветви равен Ji=giΔ Ti. Тогда связь векторов-столбцов J и Δ Т может быть записана в следующем матричном виде:
где G – квадратная матрица проводимостей ветвей размерностью М*М, М – количество ветвей графа. Матрица проводимостей G формируется следующим образом: если ветвь i представляет собой тепловую проводимость gi (кондуктивную или конвективную), то элемент ii матрицы G равен gi. Строим матрицу проводимостей G:
Она получается путем сложения по горизонтали отдельных матриц в программе MathCAD с помощью функции augment и сложения по вертикали с помощью функции stack. Строим новую матричную функцию:
(28)
(29) Подставляя в уравнение (29) находим искомые температуры в узлах стержневого элемента
Т1=402.2530С Т2=399.6650С Т3=379.6520С Т4=426.6760С Т5=431.8190С Т6=429.1660С Т7=435.1150С Т8=441.0480С Т9=442.650С
Рисунок 5. График распределения температур полученный в программе MathCAD
|