Статистические решения

Теория статистических решений может быть истолкована как теория поиска оптимального недетерминированного поведения в условиях неопределенности. Современная концепция статистического решения выдвинута А.Вальдом и считает поведение оптимальным, если оно минимизирует риск в последовательных экспериментах, т.е. математическое ожидание убытков статистического эксперимента. В такой постановке любая задача статистических решений может рассматриваться как игра двух лиц, в которой одним из игроков является «природа».

Выбор наилучших решений в условиях неполной информации является одним из основных занятий людей.

Если процесс определяется повторяющимися ситуациями, то его усредненные характеристики испытывают тенденцию к стабилизации и появляется возможность либо замены случайного процесса детерминированным, либо использования каких-то методов исследования стационарных случайных процессов (в частности, методов теории массового обслуживани я).

Однако большинство процессов характеризуется " дурной неопределенностью" и невозможно найти законы распределения и другие вероятностные характеристики. В таких ситуациях приходится прибегнуть к экспертным оценкам.

Возникает и проблема выбора критерия оптимальности, поскольку решение, оптимальное для каких-то условий, бывает неприемлемым в других и приходится искать некоторый компромисс.

Пусть задан некоторый вектор S = (S₁, S₂,.., S_n), описывающий n состояний внешней среды, и вектор X = (X₁, X₂,.., X_m), описывающий m допустимых решений. Требуется найти вектор X^*, который обеспечивает оптимум некоторой функции полезности W(X, S) по некоторому критерию K.

Информация oб указанной функции представляют матрицей размерности m x n c элементами W_ij = F(X_i, S_j), где F - решающее правило.

Рассмотрим типичный пример формирования такой матрицы

Планируется выпуск новой продукции, для чего необходимо закупить станки. Система оптовой торговли может поставить не более 50 станков; комплект поставки - 10 станков. Минимальный объем поставок - 20 станков. Соответственно, вектор решений об объеме поставок X = (20, 30, 40, 50).

Ежегодный доход от продукции, снимаемой с одного станка, cоставляет 21.9 млн.руб. Оптовая цена одного станка 4.775 млн.руб., эксплуатационные расходы - 3.6 млн. руб. Затраты на подготовку производства составляют 25.5 млн.руб. и не зависят от числа станков и объема выпуска.

Пусть спрос пропорционален количеству продукции, снимаемой с S работающих станков, и для простоты ограничимся вектором состояний спроса S = (0, 10, 20, 30, 40, 50).

Если решающее правило сформулировать как " доход минус издержки", то можно рассчитать элементы матрицы полезности:

W_ij = (21.9 - 3.6) * min(X_i, S_j) - 4.775 X_i - 25.5

Например

W₁₁ = -(4.775 20+25.5) = -121,
W₁₂ = (21.9-3.6) * 10-(4.775 20+25.5) = 62,
W₁₃ = (21.9-3.6) * 20-(4.775 20+25.5) = 245,
W₁₄ = W₁₅ = 245 (спрос останется неудовлетворенным).