Перетворення методом ковзного середнього

Пусть модель задается формулой

(9.19)

где g = const, u_t и u_t-1 – белый шум в текущий и предыдущий моменты времени. В этом случае значение переменной Y в момент времени t равно сумме константы и скользящей средней между текущим и предыдущим значениями случайного отклонения (белого шума). Соотношение (9.19) называют преобразованием методом скользящих средних первого порядка МА(1).

Соотношение

(9.20)

называют преобразованием методом скользящих средних порядка q MA(q).

9.8 Перетворення ARMA і ARIMA

Сочетание преобразований AR и МА называется авторегрессионным преобразованием со скользящей средней ARMA. Например, для переменной Y преобразование ARMA(1, 1) будет иметь вид

(9.21)

В общем случае преобразование ARMA(p, q) включает в себя р авторегрессионных членов и q скользящих средних.

Преобразование ARMA в сочетании с переходом от объемных величин к приростным называется преобразованием ARIMA. В некоторых случаях такой переход позволяет получить более точную и явную модель зависимости. Здесь приращением (конечной разностью) первого порядка переменной Y называется разность y_t - y_t-1. Приращением порядка d переменной Y называют разность

В общем виде преобразование ARIMA(p, d, q) выражается формулой

(9.22)

где — неизвестные параметры. Величины представляют собой конечные разности порядка d переменной Y. u_t-i, і = 0, 1,..., q, — независимые друг от друга нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией.

Отметим, что преобразования AR, МА и ARIMA целесообразно использовать тогда, когда достаточно ясны набор объясняющих переменных и общий вид уравнения регрессии, но в то же время сохраняется автокорреляция остатков.