Теория вероятностей

К а ф е д р а «Информационных технологий и прикладной математики

»

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие

по специальным разделам высшей математики

Самара 2015

Пособие состоит из двух разделов: теории вероятностей и математической статистики. В каждом разделе даны подробные решения типовых задач, условия задач определяются программой курса высшей математики.

Раздел «Теория вероятностей» представлен задачами по темам: алгебра событий, классическое определение вероятности, формула полной вероятности, формула Бейеса, дискретная случайная величина и ее распределения, непрерывная случайная величина и ее распределения, предельные теоремы.

В разделе «Математическая статистика» рассматриваются задачи по темам: метод моментов для точечной оценки параметров распределения, определение доверительного интервала, проверка гипотезы о виде распределения, элементы теории корреляции.

Пособие содержит тренировочный тест (стр.16) с типовыми задачами по указанным темам.

Используемые для решения формулы обозначены в круглых скобках и приведены в конце пособия.

Основное назначение пособия – помочь студенту при изучении данного материала и подготовке к экзамену по высшей математике.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Задача 1. Прибор содержит 3 элемента с вероятностями отказа 0, 1; 0, 4 и 0, 2. Найти вероятности отказа а) одного элемента; б) двух или трех элементов; в) хотя бы одного элемента.

Решение. Обозначим - cобытие, означающее отказ - го элемента, - отказ одного элемента, - отказ двух или трех элементов, - отказ хотя бы одного элемента. Тогда для случая а) запишем

,

где - событие, означающее безотказную работу элемента . Слагаемые этой суммы – несовместные события. Поэтому, согласно формуле для несовместных событий,

Сомножители в последнем выражении – независимые события, значит, в соответствии с формулой для независимых событий

.

Поскольку (формула ), получаем

.

В случае б) имеем .

Как и в случае а) справедливы следующие соотношения:

.

В случае в) искомое событие , причем слагаемые – совместные события, и для вычисления вероятности нужно использовать формулу для произвольных событий, но можно решить задачу проще, используя противоположное событие и формулу .

Так как означает отказ одного или двух или трех элементов, то - событие, дополняющее до полной группы – означает безотказную работу всех трех элементов.

Поскольку и события , , независимы, получаем

.

Задача 2. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Из урны извлекают два шара. Найти вероятность того, что шары а) белые; б) одного цвета; в) разного цвета.

Решение. Пусть событие означает извлечение белого шара, - извлечение черного шара и пусть индекс есть номер извлечения.

Тогда в случае а) искомое событие имеет вид (первый шар – белый и второй шар – белый). Поскольку и зависимы, используем формулу вероятности произведения для произвольных событий:

.

находим согласно классическому определению вероятности :

,

где - общее число случаев, - число случаев, благоприятных событию . Так как среди 15 шаров 10 белых, получаем .

есть условная вероятность события (второй шар – белый) при условии, что (первый шар – белый) произошло. Но если первым взят белый шар, то среди 14 оставшихся шаров белых – 9, поэтому .

Получаем: .

В случае б) искомое событие есть (оба шара белые или оба шара черные), причем слагаемые несовместны, а сомножители зависимы. Тогда вероятность согласно формулам , равна:

.

В случае в) будем находить вероятность события (первый шар белый, второй - черный или наоборот, первый – черный, а второй – белый).

Получим в соответствии с формулами ,

.

Задача 3. Среди 14 билетов 4 выигрышных. Найти вероятность того, что из 6 купленных билетов ровно 2 выигрышных.

Решение. Можно использовать способ решения, рассмотренный в задаче 2 (искомое событие запишется в виде суммы 15 слагаемых). Поступим иначе и решим задачу с помощью классического определения вероятности события (формула (4)):

,

где - общее число случаев, - число случаев, благоприятных событию .

Из 14 билетов 6 штук можно выбрать способами. Здесь - число сочетаний из 14 элементов по 6 элементов. Значит, . Два выигрышных билета могут быть выбраны из 4 билетов способами. Остальные (4 билета) должны быть невыигрышными, их можно выбрать из 10 невыигрышных способами.

Так как на один способ выбора двух выигрышных билетов приходится способов выбора невыигрышных билетов, то на способов выбора двух выигрышных билетов приходится способов выбора невыигрышных билетов.

Итак, . Тогда .

Число сочетаний из элементов по элементов находим по формуле :

.

При этом получим: .

Задача 4. В первой урне 20 шаров, среди них 3 белых, во второй урне 15 шаров и среди них 2 белых. Из первой урны взяли шар и переложили во вторую. Какова вероятность, что шар, взятый после этого из второй урны, белый?

Решение. Пусть событие - извлечение белого шара из второй урны. Возможны две гипотезы: - из первой урны взяли белый шар, - из первой урны взяли шар другого цвета.

По формуле полной вероятности вероятность события с учетом двух гипотез равна :

.

Вероятности гипотез составляют , .

Найдем условные вероятности. Если из первой урны взяли белый шар и переложили во вторую, то во второй урне стало 16 шаров, среди которых 3 белых. Поэтому . Если же из первой урны взяли шар другого цвета и переложили во вторую, то во второй урне стало 16 шаров, но число белых шаров (их 2) не изменилось и, значит, .

Подставив полученные значения в формулу полной вероятности, найдем :

.

Задача 5. Один завод производит в 3 раза меньше приборов, чем второй. Вероятность безотказной работы прибора первого завода – 0, 9, второго – 0, 7. случайным образом выбранный прибор отказал. Какова вероятность, что он сделан на втором заводе?

Решение. Обозначим - событие, состоящее в том, что выбранный прибор отказал. Возможны две гипотезы: - прибор сделан на первом заводе, - на втором.

Задача решается по формуле Бейеса, так как событие – прибор отказал – произошло. Запишем формулу Бейеса для случая двух гипотез:

.

Найдем вероятности гипотез и до опыта. На один прибор первого завода приходится 3 прибора второго завода, значит доля первого завода , второго .

Найдем условные вероятности. Вероятность отказа прибора при условии, что он изготовлен на первом заводе, равна . Если же прибор сделан на втором заводе, то вероятность отказа .

Осталось найти вероятность гипотезы после опыта (то есть при условии, что произошло):

.

Задача 6. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения.

X
P	0, 3

Найти , если .

Решение. Так как , то . Математическое ожидание и дисперсия для дискретных случайных величин определяются по формулам (8). То есть , тогда

, откуда .

Далее .

Задача 7. Дискретная случайная величина задана законом распределения

X	-1
P

Найти , , если .

Решение. Используя формулу для математического ожидания дискретной случайной величины, согласно которой , имеем . Кроме того, . Решая получившуюся систему уравнений

находим , .

Задача 8. Найти дисперсию случайной величины Х - числа появлений события А в 10 независимых испытаниях, если вероятности появления события в каждом испытании одинаковы, а .

Решение. Испытания независимы, а вероятности одинаковы, значит, случайная величина распределена по биномиальному закону (9); для него , .

Так как , , то . Кроме того . Тогда

Задача 9. Найти вероятность того, что при 8 подбрасываниях монеты герб появится ровно 3 раза.

Решение. Это биноминальное распределение, так как вероятность появления герба при каждом подбрасывании постоянна (равна 0, 5). Тогда вероятность появления события в испытаниях ровно раз можно найти по формуле :

,

где - число сочетаний из элементов по элементов (формула ), .

Так как , , получим .

Задача 10. Устройство содержит 2000 одинаковых элементов с вероятностью отказа для каждого за время , равной 0, 001. Найти вероятность того, что за время откажут а) меньше трех элементов; б) не меньше одного элемента.

Решение. Это биномиальное распределение, но поскольку число элементов велико, а вероятность отказа каждого мала, можно применить формулу Пуассона :

, .

Так как , , то .

а) Искомая величина есть

.

б) Используя вероятность противоположного события, получим

.

Задача 11. Непрерывная случайная величина задана функцией

. Найти .

Решение. Найдем сначала плотность распределения (формула (11)):

.

Применяя формулы (14), (15) и (17), получим

;

;

.

Задача 12. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения

Найти .

Решение. Согласно формуле (12) имеем .

Отсюда найдем константу А: , , .

Применяя формулу (13):

,

получим .

Задача 13. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с плотностью

Найти , , .

Решение. Задачу можно решать с помощью формул (13) - (15), но проще воспользоваться формулами для показательного распределения (18):

Тогда

Задача 14. Непрерывная случайная величина X распределена равномерно на отрезке . Найти , , .

Решение. Равномерное распределение подчиняется формулам (19):

; .

Найдем плотность распределения:

=

Тогда согласно (13)

,

поэтому

Задача 15. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами и . Деталь считается годной, если ее диаметр не менее 1, 9 см и не более 4 см. Определить процент брака.

Решение. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то вероятность попадания её на интервал определяется формулой :

,

где - математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение, - функция Лапласа , значения которой находят по таблице приложений .

Подставляя в эту формулу заданные значения, получаем (с учетом нечетности функции ):

.

Тогда процент годных деталей равен 81, 85; соответственно брак составит 18, 15%.

Задача 16. Случайные ошибки взвешивания распределены нормально с параметрами и . Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине .

Решение. Для нормального распределения вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания меньше положительного числа , задается формулой :

,

где - функция Лапласа . С учетом исходных данных получаем

.

Задача 17. Непрерывная случайная величина распределена нормально с , . Найти интервал, в котором согласно правилу «трех сигм» попадает случайная величина с вероятностью 0, 9973.

Решение. Правило «трех сигм» представлено формулой (23)

.

Так как то

откуда .

Решая последнее неравенство, получаем

,

откуда .

Задача 18. Вероятность поражения мишени при одном выстреле 0, 8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 88 раз.

Решение. Для решения этой задачи можно воспользоваться локальной теоремой Лапласа (24):

,

где (значения функции находят по табл. приложений [1]).

По условию , , , . Тогда

.

Задача 19. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0, 5. Найти вероятность того, что событие появится от 60 до 80 раз.

Решение. Задача решается с помощью интегральной теоремы Лапласа (25)

,

где - функция Лапласа (21).

Здесь Тогда

.

Задача 20. Игральную кость бросают 125 раз. Найти вероятность того, что относительная частота появления шестерок отклонится от его вероятности не более чем на 0, 1.

Решение. Воспользуемся формулой (26)

,

где - функция Лапласа (21). Так как , (вероятность выпадения шестерки при бросании игральной кости), , , то

.