Математическая статистика

Задача 21. Методом моментов по выборке

найти точечную оценку параметра , предполагая, что теоретическое распределение является показательным:

Решение. Согласно методу моментов нужно приравнять начальный теоретический момент первого порядка (математическое ожидание ) к начальному эмпирическому моменту первого порядка (выборочному среднему ): .

По формулам (18) для показательного распределения имеем: . Выборочное среднее находим по формуле :

,

где - варианта выборки, - частота , - объем выборки.

Получаем .

Приравнивая моменты, находим : => .

Задача 22. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при доверительной вероятности (надежности), равной , если выборочное среднее , среднее квадратическое отклонение , а объем выборки .

Решение. Доверительный интервал для математического ожидания при нормальном распределении равен :

,

где - выборочное среднее, - среднее квадратическое отклонение, - объем выборки, , - затабулированная функция Лапласа .

Так как , из соотношения получаем и с помощью таблиц находим . Тогда и .

Задача 23. По выборке из 24 вариант выдвинута гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности. Используя критерий Пирсона при уровне значимости среди заданных значений = {34, 35, 36, 37, 38} указать: а) наибольшее, для которого нет оснований отвергать гипотезу; б) наименьшее, начиная с которого гипотеза должна быть отвергнута.

Решение. Найдем число степеней свободы с помощью формулы :

,

где - число групп выборки (вариант), - число параметров распределения.

Так как нормальное распределение имеет 2 параметра ( и ), получаем

.

По таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы определяем критическую точку .

В случае а) для значений , равных 34 и 35, нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении, так как . А наибольшее среди этих значений .

В случае б) для значений 36, 37, 38 гипотезу отвергают, так как . Наименьшее среди них .

Задача 24. По данным корреляционной таблицы найти выборочный корреляционный момент (ковариацию):

Решение. Выборочный корреляционный момент определяется равенством :

.

Здесь , - варианты (наблюдавшиеся значения) признаков и , - частота пары вариант , - объем выборки, , - выборочные средние.

Найдем выборочные средние с помощью соотношения :

, ,

где , - частоты вариант и .

Так как , получаем

, .

Тогда

Задача 25. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии:

а) на , б) на , если известны: выборочные средние , , выборочные дисперсии , , выборочный коэффициент корреляции .

Решение. а) Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид

,

где , .

Поскольку , , получаем уравнение

, или .

б) Согласно выборочному уравнению прямой линии регрессии на :

.

Поэтому получаем

, или .