Задача Эйлера

Рассмотрим решение задачи устойчивости упругого стержня, постоянного поперечного сечения, расположенной на двух шар­нирно опертых концах, при действии продольной силы перемен­ной величины Р (рис.13.2).Впервые эта задача была поставлена и решена Л. Эйлером в середине XVIII века.

На начальном этапе действия постоянно возрастающей силы Р, очевидно, что в попереч­ных сечениях стержня во­зникают только продольно сжимающие силы и стер­жень испытывает сжатие, сохраняя прямолинейную форму деформированного состояния (1). Считая дан­ную форму деформирован­ного состояния в качестве начальной, предполагают, что при некотором значении внешней силы Р = P_кр стержень изогнется, т.е. в некотором новом равновесном состоянии принимает искривленную форму (2), изображенную на рис.13.2.

Обозначая величину прогибов стержня через y (z) в сечении, расположенном на расстоянии z от начала системы координат y z, значения изгибающих моментов в указанном поперечном сечении от действия внешней силы Р принимают значения

Из теории изгиба, при малых прогибах и пренебрегая продоль­ными деформациями, деформированное состояние стержня за счет изгиба, описывается уравнением

Принимая обозначение

уравнение (13.1) можно представить в следующем виде:

Решение (13.3) имеет следующий вид

Произвольные постоянные С ₁ и С ₂ определяются из граничных условий закрепления балки, т.е. y (0) = 0; y (l) = 0.

Из первого условия вытекает, что С ₂ = 0, а из второго

Последнее уравнение имеет два возможных решения: либо С ₁ = 0, либо же .

В первом случае получается, что С ₁ = С ₂ = 0 и перемещения согласно (13.4) тождественно равны нулю, т.е. y = 0. Это решение очевидно соответствует первоначальному равновесному сос­тоянию, которое нас не интересует. Во втором случае, т.е. пред­полагая, что С ₁ ¹ 0, из (13.5) следует, что Откуда следует, что где n = 1, 2, 3,... С учетом выражения (13.2), получим

Наименьшая критическая сила получается при n=1: