Формула Эйлера

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного и комплексного числа x выполнено следующее равенство:

где — одна из важнейших математических констант, определяющаяся следующей формулой:

доказательство формулы Эйлера.

Доказательство формулы Эйлера основывается на представлении этих функций как степенные ряды и при первом чтении может быть опущено без вреда для понимания дальнейшего изъяснения.

Отметим, что и - это, соответственно, вещественная и мнимая части экспоненциальной функции:

Заменим в формуле Эйлера

Выполняем почленное сложение и вычитание выражений в обеих частях равенств (1) и (3), получаем:

Следовательно

Т.о., тригонометрические функции и представлены как линейные комбинации экспоненциальных функций и tg φ выражаем через