Высказывания и операции над ними

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Логика - это наука о способах доказательств и опровержений (название происходит от греческого слова “логос” - разум, мысль). Основоположником логики является Аристотель (древнегреческий учёный-философ IV в. до нашей эры). Он изложил в виде стройной системы имевшиеся к тому времени результаты исследований о законах и формах мышления, чётко сформулировал некоторые законы логики, исследовал и описал основные виды понятий, суждений и умозаключений, а также изложил начало теории доказательств. Логика, созданная им, называется в настоящее время формальной или аристотелевской. Математическая (или символическая) логика возникла в результате применения математических методов и специального символического языка к формальной логике. В настоящее время математическая логика представляет собой самостоятельный раздел математики, имеющий важное теоретическое и прикладное значение (в математике, кибернетике, информатике, лингвистике и т.д.).

Высказывания и операции над ними

Основным понятием математической логики является понятие высказывания. Под высказыванием понимают повествовательное предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Высказываниями не являются определения, вопросительные и восклицательные предложения, а также субъективные суждения. Например, предложения «В России проживает 256 млрд. человек», «17< 3», «сегодня пасмурно», «треугольник правильный, если все его стороны равны» являются высказываниями, а предложения «сегодня плохая погода», «треугольник называется правильным, если все его стороны равны», «Вам нравится это стихотворение?» высказываниями не являются. Как правило, высказывания обозначают большими буквами латинского алфавита. В логике отвлекаются от содержательной стороны высказываний, ограничиваясь рассмотрением их значений истинности (истинностных значений). Если высказывание А истинно, то ему приписывают истинностное значение И (или 1) и пишут [ А ]=1, а если ложно – истинностное значение Л (или 0) и пишут [ А ]=0. Никакое высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным.

Под элементарным (или простым) будем понимать высказывание, рассматриваемое как целое не разложимое на части предложение, внутренняя структура которого нас не интересует. Также как составное повествовательное предложение можно образовать с помощью ряда связок из простых предложений, так и составное (или сложное) высказывание можно получить из элементарных, применяя к ним логические операции. Пусть А и В – произвольные высказывания, относительно которых мы не предполагаем, что известны их истинностные значения.

Определение 1. Отрицанием высказывания А называется такое высказывание (читается «не А», «неверно, что А»), которое истинно тогда и только тогда, когда А ложно.

Например, отрицанием высказывания А: «6 делится на 2» является высказывание : «неверно, что 6 делится на 2» (или «6 не делится на 2»).

Для пояснения логических операций удобно использовать так называемые таблицы истинности (истинностные таблицы):

[ A ]	[ ]

Определение 2. Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А В (читается «А и В», «А конъюнкция В»), которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В.

Например, конъюнкцией высказываний А: «2 < 4» и В: «6 – простое число» является высказывание А В: «2 < 4 и 6 – простое число», которое ложно, поскольку ложным является высказывание В. Истинностная таблица для конъюнкции имеет вид:

Определение 3. Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А В (читается «А или В», «А дизъюнкция В»), которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний А или В.

Союз «или» в данном случае носит неразделительный смысл, поскольку высказывание А В истинно и при истинности обоих высказываний А и В. Например, высказывание «4¹ 13 или 7 – простое число» истинно, так как является дизъюнкцией двух истинных высказываний «4¹ 13» и «7 – простое число». Дизъюнкции соответствует следующая таблица истинности:

Определение 4. Импликацией высказываний А и В называется высказывание А В (читается «если А, то В», «из А следует В», «А влечет В», «А импликация В»), которое ложно тогда и только тогда, когда высказывание А истинно, а В ложно. Истинностная таблица для импликации такова:

В импликации А В высказывание А называется посылкой (или условием), а высказывание В – заключением. Между посылкой и заключением могут отсутствовать причинно-следственные связи, но это не может повлиять на истинность или ложность импликации. Поэтому с точки зрения логики, допустимы, например, такие импликации: «если диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то Ю.Гагарин – великий русский поэт», «если город Брянск расположен на берегу Невы, то 3+2=4». В первом случае импликация, согласно определению, является ложной, а во втором – истинной. То обстоятельство, что в случае, когда ложна посылка, импликация будет истинной независимо от истинностного значения заключения, кратко формулируют так: «из ложного следует все, что угодно».

Определение 5. Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание А В (читается «А тогда и только тогда, когда В», «А необходимо и достаточно для В», «А эквиваленция В»), которое истинно тогда и только тогда, когда истинностные значения А и В совпадают.

Например, высказывание «2+7=8 тогда и только тогда, когда 3< 0» истинно,

поскольку оно является эквиваленцией двух ложных высказываний «2+7=8» и «3< 0». Таблица истинности для эквиваленции имеет вид:

Замечание 1. Высказывания А и В называются равносильными, если их истинностные значения совпадают. Если высказывания А и В равносильны, то пишут А В. Нетрудно проверить, что ; если , то ; из и следует , для любых высказываний А, В и С. Это означает, что отношение равносильности на множестве высказываний является отношением эквивалентности.