Кванторные операции над предикатами

Над предикатами выполняют также особые операции, которые не имеют аналогов среди операций над высказываниями. Это кванторные операции, или иначе, операции квантификации.

1. Кванторные операции над одноместными предикатами.

Определение 26. Операцией связывания квантором общности одноместных предикатов называется унарная операция на множестве всех одноместных предикатов, которая каждому предикату ставит в соответствие высказывание, обозначаемое (читается “для любого имеет место ”), которое истинно - тождественно истинный предикат, то есть

=	если - тождественно истинный предикат,
если - опровержимый предикат.

Символ называется квантором общности по переменной .

Пример 1.

1) : на R – опровержимый предикат : “Для любого R имеет место ”- ложное высказывание.

2) : на R – тождественно истинный предикат : “Для

любого R имеет место ” – истинное высказывание.

Определение 27. Операцией связывания квантором существования одноместных предикатов называется унарная операция на множестве всех одноместных предикатов, которая каждому предикату ставит в соответствие высказывание, обозначаемое (читается “существует такой, что имеет место ”), которое ложно - тождественно ложный предикат, то есть

=	если - тождественно ложный предикат,
если - выполнимый предикат.

Символ называется квантором существования по переменной .

Пример 2.

1) : на R – выполнимый предикат : “существует такое R, что имеет место ” – истинное высказывание.

2) : “ ” на R – тождественно ложный предикат : “существует такое R, что имеет место ” – ложное высказывание.

2. Кванторные операции над n -местными предикатами.

Определение 28. Операцией связывания квантором общности по переменной называется унарная операция на множестве предикатов (содержащих переменную ), которая каждому -местному предикату , заданному на множестве , ставит в соответствие -местный предикат на множестве , обозначаемый , такой, что высказывание является истинным - тождественно истинный предикат.

Аналогично определяется операция связывания квантором общности по любой переменной. В определении 28 можем считать определение 26 – частный случай определения 28.

Определение 29. Операцией связывания квантором существования по переменной называется унарная операция на множестве всех предикатов, содержащих переменную , которая каждому -местному предикату на множестве ставит в соответствие местный предикат на множестве , обозначаемый , такой, что высказывание является ложным - тождественно ложный предикат.

Определение 30. Переменная предиката, относящаяся к некоторому квантору, входящему в запись данного предиката, называется связанной данным квантором, или просто связанной. Переменные предиката, не связанные ни одним квантором, называются свободными.

Например, предикат имеет две связанные переменные и

, и одну свободную переменную . При этом - переменная, связанная квантором общности, - переменная, связанная квантором существования.

Отметим, что - одноместный предикат со свободной переменной , то есть местность предиката определяется числом свободных переменных, входящих в него.