Завис. и независ-е события.Условная вер-ть.Т.умнож.вер-тей.

Условной вер-тью соб-я В наз-ся вер-ть события В вычисл-ое при условии А, что событие произошло и обознач. Р(В/А)= (В).

Т.умнож.завис.событий: Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)

(позвол.решать задачи для 3 соб-ий: (Р(АВС)=Р(А)*Р(В/А)*Р(С/(АВ)))

Говорят, что соб.В не зависит от соб.А, если Р(В/А)=Р(В).Это рав-во служит мат.критерием нзав-ти двух событий.Если оно вып-ся, то соб.А и В независимы.

Т.умнож.независ.событий: Р(АВ)=Р(А)*Р(В). Можно показать, что если соб.АиВ нез-мы, то незав-ми явл.след.пары собитий ВиА: `А и`В, `В и`А, `А и В, А и`В, А и В. Несколько событий являются незаис. в совокуп-ти, если они попарно независ.и каждое соб.независио от любо комбин.В это случ.Т.умн.запис-ся в виде: Р()=Р( Р( …Р().

8.Вер-ть появл-я хотя бы одного из n соб-ий, независ.в совокуп-ти. Вер-ть того, что хотя бы 1 из n соб.незав.в сов-ти произойдет равна разности между единицей и проивед.вер-ти протиопол.событий: Р()=1- . Док-во: события()и () явл-ся противоположными.Значит сумма их вер-тей равна 1.Р()+ ()=1.Тогда применяется Т.умн.В итоге: Р()= 1- . Следствие: если Р(, то

9.Т.слож.вер-тей совместных событий. Вер-ть наступл-я только 1, хотя бы 1 события. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (в свою очередь Р(АВ)à Р(А)Р(В) или Р(А)Р(В/А))-если события совместны.

А+В=А`В+АВ+`АВ, тогда Р(А+В)=Р(А`В)+Р(АВ)+Р(`АВ)*-если несовместны. С др.стороны соб.А=А`В+АВ, Р(А)=Р(А`В)+Р(АВ)à Р(А`В)=Р(А)-Р(АВ)**

В=`АВ+АВ, Р(В)=Р(`АВ)+Р(АВ), Р(`АВ)=Р(В)-Р(АВ)***. Подставляем ** и *** в * и получим Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Хотя бы 1: ; Только 1: .

10.Формула полной вероятности и формулы Байеса.Теорема. Если событие А может произойти лишь при условии наступления 1-го из n независимых событий гипотез Н1, Н2…Нn, образующих полную группу(Р(Н1)+Р(Н2)+…+Р(Нn)=1), то полная вер-ть события А рассчитывается по формуле:

Р(А)=Р(Н1)*Р(А/ Н1)+ Р(Н2)*Р(А/ Н2)+…+ Р(Нn)*Р(А/ Нn)=

Условные вер-ти гипотез, вычисляемые при условии, что событие А произошло называется послеопытными вероятностями, вычисляются по формулам Байеса:

Р(Н1 /А) =

Док-во: Поскольку событие А зависит от Н1, то и Н1 зависит от А, тогда применяя теорему умножения вероятностей зависимых событий к левой и правой части равенства АН1 = Н1А, получаем Р(АН1)=Р(Н1/А), Р(А)*Р(Н1/А)=Р(Н1)*Р(А/Н1), но Р(А)≠ 0.

Р(Н1/А)=

11.Понятие дискретной случайной величины ее закона распределение. Многоугольник распределения. Примеры.

Под случайной величиной понимается такая величина, которая в процессе испытания примет одно и только одно числовое значение, заранее неизвестное, зависящее от случайных обстоятельств.Примеры:

1.Число зазвонивших мобильников на лекции2.Число двоек, троек, и единиц (число отриц. оценок) полученных студентами с потока в некоторой сессии.

Непрерывно случайные величины:

3.Продолжительность человеческой жизни4.Длительность полета снарядов

Дискретной называется такая случ. Величина, которая принимает отдельные изолированные числовые значения.

Сами случайные величины обозначаются Х, У, Z, а возможные значения строчными xi, yi, zi.

Законом распределения дискретной случайной величины назыв. любое соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и вероятностями этих значений.

Способы задания законов: 1)табличный; 2)аналитический(для каждого х своя формула); 3)графический

При графическом зад. закона распр-я такое распределение на оси х откладывается возле значения этой величины, а на у- вер-ти этих значений. Затем точки с коорд(х1; р1), (х2; р2)…(хn; рn) соединяют отрезками и полученная фигура наз-ся многоугольником или полигоном распределения.

13. Математическое ожидание и его свойства.
Матем. Ожидание в заданном законе распределения называется число, равное сумме произведений возможных значений случайной величины на их вероятности
. Если Х принимает бесконечное множество значений, то . Можно показать, что вероятный смысл матем. Ожидания – это среднее значение случайной величины .
Вводятся использование операции:

1. произведение д.с.в. на постоянное число С называется случайная величина СХ, возможное значение которой есть произведение , а вероятности те же.
2. произведением независимых случайных величин Х и У называется Z=XУ, возможное значение которых равны произведениям всех возможных значений , на который возможное значение , а вероятность этих значений равны произведением соответствующих вероятностей.
3. Суммой СВ Х и У называется СВ Z=X+У
возможное значение, которых равны суммам каждого значения х с каждым возможным значением у, а вероятности полученных значений равны произведениям выроятностей слагаемых, если Х и У независимые и произведение вероятности Хi на условную вероятность Уi, если Х и У зависимы.
Свойства матем. Ожидания:
1. М(С)=С (постоянная)
2.М(СХ)=СМ(Х) постоянный множитель выносится за знак постоянной
3. М(ХУ)-М(Х)*М(У) (только для независимых СВ).
Математическое ожидание произведения СВ равно произведению математических ожиданий.
4.М(Х+У)=М(Х)+М(У)
Математическое ожидание суммы СВ (как зависимых, так и независимых) равно сумме математических ожиданий.
Отклонением СВ Х от своего математического ожидания М(Х) называется СВ Х-М(Х).

14.Дисперсия ДСВ и её свойства.
Дисперсией СВ Х называется число D
равное математическое ожидание квадрата отклонения СВ.
Для вычисления СВ дисперсии СВ Х, заданной законом распределения вначале находим М(Х), составляем закон распределения СВ , вычисляем дисперсию по соответствующей формуле.
Т. Дисперсия СВ Х равна разности между математическим ожиданием квадрата СВ и его квадратом математического ожидания

Свойство:
Свойства дисперсии:
1.D(C)=D (постоянная величина)
2.D(CX)=
Постоянный множитель выносится за знак дисперсии предварительно возведя его в квадрат.
3. D(X+-У)=D(X)+D(У)
Дисперсия суммы(разности) независимых СВ равна сумме.
Поскольку размерность дисперсий как физ величины равна квадрату размерности самой СВ, то вводится новая числовая характеристика, которая также характеризует рассеяние, но имеет ту же размерность, что и сама СВ.
Эта числовая характеристика называется средним квадратичным отклонением

15. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
Ф-ла Бернулли: Т. Пусть вер-ть наступления события А в n независимых испытаниях задано числом P. Тогда вер-ть того, что n независимых испытаний события А произойдёт равно k раз в безразлично каком порядке вычисляется по формуле Бернулли:
, где Док-во: введение в рассмотрение события В.
В= ln испол. Событие А
произойдёт k раз значит …(?)
, Таких событий В будет столько, сколькими способами можно выбрать k-элементов из n-элементов, итак получим формулу Бернулли.
Все вероятности вначале увеличиваются, затем убывают, т.е. в серии из n испытаний существует такое число - наивероятнейшее, которое соответствует наибольшей вероятности . Для нахождения можно вычислить все вероятности и выбрать среди них наибольшую. Этот путь нерациональный. Получим фунции, позволяющие по n и p находить Разделим верхнее неравенство на . Получится дробь ; ;
Сокращая данную дробь, получим: или , ,
Поступая аналогично с нижним неравенством, получим . Окончательно имеем, что наивероятнейшее число k удовлетворяет неравенству:
np – целое число, kо =np. Если np – целое число, ko принимает 2 значения: ko=np+P, ko=np-q.