Функция распределения случ. величины и ее св-ва. График ф-ции распределения дискретной случайной величины.

Для непрерывных случайных величин, которые принимают значения сплошь заполняющие некоторый числовой промежуток или даже числовую прямую закон распределения в виде хi /pi не пригоден, поэтому для математического описания и дискретных и непрерывных случайных величин вводится новое понятие которое называется функция распределения и определяется равенством: F(C)=P(Χ < x), где х- произвольная точка числовой прямой х є(-∞; +∞); Х- случайная величина.

Некоторые значения этой случайной величины:

F(0)=0; F(100)=1/100; F(164)=1/5; F(190)=99/100.

Геометрический смысл ф-ции распределения: Р(Х< х)=f(x)

Свойства:

1) D(F)=R; E(F)=[0; 1]

2)Ф-ция распределения – не учитывающая ф-ция. Если х1 < х2, то F(x1)≤ F(x2)

F(x2)= P(X < x2)=P(X < x1 или x1 ≤ Х < x2)=P(x < x1)+ P(x1 ≤ X< x2) след-но Р(x1 ≤ X≤ x2)=F(x2)- F(x1)

Вер-ть того, что в рез-те испытания случ. величина Х примет значения на этом полуинтервале (a; b] равна приращению на этом полуинтервале Р(а≤ Х ≤ b)= F(b) – F(a).

3)

4)Если возможные значения случайной величины сосредоточены на [a; b], то F(x)=0 при x ≤ a; F(x)=1, при х > b.

Рассмотрим особенности графика ф-ции распределения дискретной случайной величины (ДСВ) заданной законом распределения в виде:

х х1 х2 … хn …

р p1 p2 … pn …

F(x)= 0, если х1 ≤ х2

р1, если х1 < х < х2

р1 + р2, если х2 < х ≤ х3

р1 + р2 + … + рn, если хn < х < хn+1

р1 + р2 + … + рn = 1, если х > хn

График ф-ции распределения ДСВ есть кусочно-постоянная ф-ция, имеющая разрыв I рода в точках x = xi, где хi - возможное значение СВ. Величина скачка в т. хi = рi.

F(x)

X1 1

X1 0 X2 X3 … Xn-1 Xn x

19. Закон Пуассона и его числовые характеристики.Для бином. распред-я вероятность . Пусть число испытаний n – велико, а вероятность р – мала (p< 0, 1) и произвед-е np. сохр.постоянное знач-е, кот. обозначается через λ (np= λ, λ =const)

Выразим р: Вычислим отдельно: Ф-ла Пуассона:

Заменяя знач-е переменной ее пределом, получим приближ. ф-лу:

- ф-ла Пуассона (законы редк. соб.) применяется для знач. при , то примен. локальн. и интегральн. теорема Лапласа

Дискр. случ. величина Х наз-ся распред. по закону Пуассона с параметром > 0, если она приним. знач-е 0, 1, …, k, … с вероятностями, которые рассчитываются по ф-ле Пуассона(законы редк. соб.)

Табл. распред. этого закона имеет вид:

З-н Пуассона применяется: 1) в страховании(число треб. на выход страх. суммы в теч. года); 2) в технике(число отказов сложн. радиотехн. устр-в); 3)в космонавтике

20. Равномерное дискретное распределение, геометрическое распр-е, гипергеометрическое распр-е.Дискр. случайная величина Х называется распред. по равномерн. закону с параметром n, если она принимает знач-е 1, 2, …, n с равн. вероятностями.

Таблица распред. имеет вид: ;

Геометрич. распр. с параметром p (0< p< 1) называется распр. дискр. случайная величина Х, приним. значения 1, 2, …, k, … с вероятностями p, pq, …, , …

Таблица распред. имеет вид: ;

В гипергеометрич. распр. случайная велинина Х приним. знач-е 0, 1, 2, …, k, где k=min(n, M), а вероятность рассчит. по ф-ле: ;

21. Плотность распред-я вероятностей и ее св-ва Случайная величина Х наз-ся неприр., если ее ф-я распред. F(x) явл. неприр. ф-ей и имеет производную F’(x) почти всюду, за искл. (м.б.) конечн. числа точек на люб. конечн. промежутке.

Плотностью распред. вер-тей (Р(Х)) наз-ся производная от ф-и распред-я.

Известно, что , разделим посл. рав-во на

, если , то правая часть к

Получ., что плотность в т. х есть предельн. знач-е средн. плотности вер-ти первые части равны, значит и вторые равны

Св-ва плотности распр.:

р(х) 0, т.к. р(х) – произв. неубывающ. ф-и F(x)

- усл. нормировки.

- интегр. ф-я распред. р(х)=F’(x) – дифференц. ф-я распред.

22. мат. ожид. И дисперсия непрерывной случ. Величины. Док-во равенства: Математическим ожиданием случайной величины х (M[x])называется средневзвешенно значение случайной величины причем в качестве весов выступаютвероятности появления тех или иных значений. Математическое ожидание случайной величины всегда больше наименьшего значения и меньше наибольшего.Матем ожид наз-ся числоM(X)=∫ от a до в хр(х)dx; M(X)=∑ от до n xp ²

Док-во равенства в конспекте

Дисперсия (D[x]) характеризует рассеивание или разряженность случайной величины около ее математического ожидания.

Дисперсия случайной величины всегда величина положительная

Размерность дисперсии равна квадрату разности случайной величины

Все св-ва мат ожидания и дисперсии дискретной случ вел остаются справедливыми для непрерывной случ величины

23. Равномерный закон распределения и его числовые характеристики Закон распределения непрерывной случайной величины называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение (f(x) = const при a ≤ x ≤ b, f(x) = 0 при x < a, x > b.

24. Показательный закон распределения и его числовые характеристики Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром, если её плотность вероятности f(x) имеет вид: Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надёжности. Так, например, интервал времени Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке событий имеет показательное распределение с параметром - интенсивностью потока

28Функцией Лапласа наз. Ф-я:

Она тесно связана с нормальным законом распределения.

Осн. св-ва: 1. Область определения – вся числовая прямая.2. Ф-я Лапласа монотонно возрастает на всей числовой прямой.3. Функция Ф(х) нечетная. Ф(0)=0

4.

Функция Лапласа очень быстро приближается к единице с ростом х.

Ф(0)=0; Ф(1)=0, 6827; Ф(2)=0, 9945; Ф(3)=, 09973; Ф(х)=1 при х> 4.

Если СВ распределена по норм. Зак. С параметрами а и σ. Записывается х принадлежит N(а; σ), её ф-я распределения Ф(х) связ. С ф-ей Лапласа след. образом.

29Пусть у нас имеется СВ Х. дискретная или непрерывная, для кот. Известен закон распределения.

Тип СВ\ момент	Начальные ν к =М(хк)	Центральные μ к =М(х-М(х))к
дискретная х   2 … n р р1 р2 … рn	ν к = Σ ni=1 хikpi	μ к = Σ ni=1(хi – M(x))кpi
Непрерывная p(x)	ν к = xкp(x)dx	μ к = (x-M(x))кp(х)dх

Если для СВ известны значения всех начальных моментов, то решая соответственно систему ур-й можно востан. ф-ю распределения этой СВ.

Любой центральный момент выражается ч-з начальные моменты, кот. вычисл. проще.

Центр.момент к-того порядка μ к наз. математическим ожиданием к-ой степени отклонения случ.вел. от своего мат. ожидания.

Ассиметрией теоретического распред-я наз-ся отн-е центр. момента 3-го пор-ка к кубу ср. квадр. ожидания.

Аs=μ 3/ σ 3 Нормальная кривая

As> 0, если «длинная часть» кривой распределения нах-ся правее мат. ожид-я. В противном случае As< 0. Эксцессом распределения наз. Число Ек= (μ 4/ σ 4)-3 для номального распределения Ек=0.Если Ек> 0, то крив-я теоретич распред-я будет более высокой и острой, чем норм расп-е с теми же параметрами.Если Ек< 0, то теоретич крив-я будет более низкой и плоской.

30Пусть Х-СВ непрерывная или дискретная, принимающая только неотрицательные значения (х≥ 0), имеющая мат-е ожидание (М(х)), тогда для любого  > 0 справедливо нер-во: Р(х< )≥ 1-(М(х)/ ) 1-е неравенство Маркова.

Р(х≥ )≤ М(х)/  2-е неравенство Маркова. х<  и х≥  – противопол. сумма их вер-тей =1, значит из нер-ва 2 следует нер-во 1. Нер-ва (1) и (2) служат для решения задач и т.д.

Замечание: 1) нер-во(1) применяют если з-н распред-я не известен, а известно лишь то, что 0 и М(х). 2) из (1) следует что Р(х< )=F(). С ростом  оценка ф-ции и расп-я станов-ся достаточно хорошей

31. Неравенство Чебышева

Вероятность того, что отклонение случ. величины Х от ее мат. ожидания по абсол. величине < положит. числа не меньше, чем :

.

Док-во:

M(Y)=D(X)

.

.

.

.

Неравенство имеет для практики огр. значение, поскольку часто дает грубую или иногда тривиальную оценку. В теории исп-ся для вывода Т. Чебышева.

32. Теорема Чебышева и её следствия

Т. При неограниченном увеличении числа n попарнонезавис. случ. величин имеющих M(X) и равномерноогр. D(X), их ср. арифмет. стремится по вер-сти к ср. арифмет. их матем. ожиданий.

Следствия: Пусть случ. величины имеют равные мат. Ожидания (i= 1, 2, …n) и равномерногр. . Тогда ср. арифмет.

Если случ. величины попарно независ. И одинаково распред-ны, то ср. арифмет. ,

33. Теорема Бернулли. Значение ЗБЧ

Если вер. Р – наступление соб. А в каждом из n повторнонезавис. испытаний постоянно, то при относит. частота появление соб. А стремится к Р при . К – число наступления соб. А в n повт. независ. испытаний как сумму попарнонезавис. , где имеет распределение

0 – соб. А ненаступило, 1 – наступило

,

При подстановке получаем

, , при

Если , то правая часть стремится к 1, но вер-сть не может быть > 1, значит , что треб-ость доказать.

ЗначениеЗБЧ:

1 в физике-пос-во давления газа

2 в статистике-основа выбора метода

3 в страховании-основанно на устойчивых таблицах смертности

34 Понятие о центральной предельной теореме (ЦПТ) и ее следствиях.существуют несколько форм ЦПТ. В них утверждается факт, что если случ.велич. х является результатом суммарного воздействия многих случайных величин, влияние каждой из которых на сумму ничтожно мало, то эта суммарная величина имеет нормальный закон растпеделения. Центральная предельная теорема (ЦПТ) (в формулировке Ляпунова А.М. для одинаково распределенных СВ). Если случ.вел-ны имеют конечные мат.ожидания и дисперсии и абсолютные центральные моменты где и выполняется усл-е Ляпунова =0, то случ.вел. Х= с достаточной степенью точности распределена по норм-му закону с параметрами .

Если случ.вел-ны распределены точно по норм-ну закону, то их суммы имеют точно норм-е распределение.

Если все величины распределены одинаково, то усл-е Ляпунова выполняется автоматически и значит сумма случайных величин с достаточной степению точности имеет норм-е распр-е.

Примеры из практики: 1)ошибки измерений: случ.вел.кот распределена по норм.закону.2)нагрузка потребительских сил.3)биометрические показатели.

35Предмет и задачи мат статистики, ген и выборочная совокупности, способ отбора.Мат стат-раздел математики, изучающий методы отбора, систематизации и обработки результатов наблюдений, массовых случ явлений с целью выявления существующих закономерностей. Она возникла как наука в нач 17в. В работах Галелея, кот. Исследовал ошибки физич. измерений, рассматривая их как случ-е явления. Затем создается теория страхования, основанная на анализе таких массовых случ. явлений как рождаемость и смертность.19в – матем.стат.как отдельная наука(Кетле, Гальтон, Пирсон)

Задачи: 1-указание способов сбора и группировки стат сведений (описательная статистика) 2-разработка методов анализа стат данных а) оценка вероятности события б)функции распределения в) зависимость случ величины от других величин г) проверка стат гипотез. Ген сов-ть – сов-ть объектов, все элементы кот подлежат изучению; м.б. конечной/бесконечной. Выборочная сов-ть часть объектов ген сов-ти используемая для исследования. Способы отбора: 1)простой случайный бесповторный, когда кажд элемент, случайно отобранный исследователем, не возвращается в ген сов-ть 2)простой случайный повторный отбор, когда элемнт возвращается в ген сов-ть. Выборка должна быть репрезентативной. т.е. правильно отражать пропорции генер-й сов-ти. Для этого каждый элемент ген.совокупности должен иметь одинак. вер-ть попасть в выборку.

36 Построение дискретного вариационного ряда. Эмпирическая ф-ия распределения.Случ.вел. Х носит дискретный хар-р или кол-во признака Х. Дан ряд чисел. Вначале он ранжируется, т.е. располагаются по возрастанию. Различные элементы выборки наз-ся вариациями. Частотой варианта наз-ся число , показывающее скоко раз эта вар-та встречается в выборке. Частостью (относит-ой частотой) наз-ся число . Частости и частоты наз-ся весами. Накопленной частотой наз-ся число n = кол-ву вариант знач-е кот меньше х. аналогично опр-ся накопленная частота. . Ряд вариант, расположенный в порядке возраст-я вместе с соотв. весами наз. стат. рядом частот или частостей.

Для графического изображения ДВП используют: 1) точечную диаграмму(строится по координатам (хi; ni)). 2)полигон(соединить точки). 3) кумулята (ломанная, кот соединяет точки с координатами (хi; mхi))(кумуляц-я кривая).

Эмпирической ф-ей распр-я наз. где - число вариант меньшее, чем х. {
св-ва: 1) принадлежит [0; 1]. 2) неубывающая. 3) при х . 4) при х .

Простейшие числ. хар-ки вариац. ряда: 1)R – размах вар-ции Хмакс-Хмин. 2)М – мода, имеет наибольшую частоту.3) Ме – медиана, число, слева и справа от кот нах-ся одинак. число вариант, может попадать/не попадать в ряд.
если ДВР содержит четн число вариант, то Ме= .

40.Оценка парам-в генер.сов-ти.Пон.точеч.оценки и её св-ва: несмещ-ть, состоят-ть, эффективность. Выбор.хар-ка, использ-я в кач-ве приближ-го знач.неизвестной хар-ки наз её точеч.статист.оценкой. Напр., (выборочная) оценка М(Х). х—суммарный балл в летней сессии. Оценка наз.точечной, пот.что предст.собой число—точку на числовой прямой. Слово «статистич-я» означ., что оценка рассчит.по результ-м выборки(стат-ки). Тогда становится понятно, что точеч.статист.оценка явл.СВ, т.к.элементы выборки случ-е. Тогда м.говорить о М(Х) и D(Х) самой стат-ой оценки. Стат.оценка наз-ся несмещённой, если её М(Х) равно оценив-му интерв.парам-ру. Стат.оценка наз-ся состоятельной, если она стремится по вер-ти к оцениваемому парам-ру, т.е.с повышением объёма выборки оценка и чел.хар-ка отлич-ся сколь угодно мало. Если есть неск-ко способ.получения точеч.оценки, то эффект-й наз.та, кот.имеет наим возможную дисперсию среди всех оценок.

41.Точеч.оценки математич.ожидания и дисперсии.Устойчивость выборочных средних.Исправленная выбороч.дисперсия. Теорема.Выборочная ср.арифметич.явл.несмещённой оценкой генер.ср.арифметич-й. М )= Пусть из генер.совок-ти, в кот.изм-ся конечн.признак Х извлечена выборка объёмом n. (конкрет.реализация выборки) Вычислим ср.арифмет.: . Понятно, что вместо м.быть любое значение из возможных знач-й Х. То же самое для и т.д., поэтому , , …, это случ.величины, кот.распределены так же, как и вся генер.совок-ть: М()=M()=…=M()=M(X)= . Т.к.СВ —независ-е, то применяя св-во мат.ожид.выборочной средней, получ: М()=М()= M()= (M()+M()+…+M())= (M(X)+M(X)+…+M(X))= *M(X)=M(X). В доказ-ве предполаг, что выборка повторная. Замечание: из Т.Чебышева след, что выборочная средняя явл.и состоятельной оценкой ген.средней. Теорема.Обр.св-во уст-ти выборочной средней состоит в след: если из генер.сов-ти сделать неск-ко выборок достат.больш.объёма, то выборочные средние будут приблизит.равны м-у собой. Исправленная выборочн.дисперсия:

42.Интерв-е оценки парам-в.Построение доверит.интерв.для генер.средней по выбороч.средней.Объём повторной и бесповт.выборок.Интерв.оценкой параметра Ѳ наз-ся интервал (α, β), кот.с заданной вероятностью γ накрывает неизв.значение параметра Ѳ. Такой интерв.(α, β)наз-сядоверит-м интерв., а вероятность γ —доверит.вероятностью, или уровнем надёжности. --∆ < Ѳ < +∆. Наибольш.отклонение ∆ выбороч-го значения парам-ра от его истинного знач-я наз-ся предельн.ошибкой выборки.Доверит.интервал ур-ня надёжности γ для генер.средней ɑ имеет вид: -∆ < ɑ < +∆, где ∆ --предельная оштбка выборки, завис.от γ. Объём выборки n опред-ся ур-ем надёжности γ и предельн.ошибкой ∆. Объём повтор-й выборки n= , бесповторной— n= .