![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Критерий Пирсона.Стр 1 из 16Следующая ⇒
Выборка. Табл. 3.3
Найдём x min = –2, 74 и x max = 2, 61. Размах выборки, согласно (180), будет равен R = x max – x min = 5, 35. Ширина интервала, вычисленного по (181) и округлённая до чётного значения сохраняемого числа, принимает значение c = R / k ≈ 0, 54. Далее, оперируя формулой (182), вычисляем границы интервалов x j +1 = x j + c, (колонка 2, Табл. 3.4). В колонках 3 и 4 той же таблицы для каждого интервала зафиксированы выборочные наблюдённые и накопленные частоты: ν j = Nj = В 5 -ой колонке вычислены эмпирические значения статистической функции распределения, соответствующие частотам, накопленным к j -му интервалу: F j = Nj / n. (249) Соседняя, 6 -ая колонка включает значения гипотетической (стандартной нормальной) функции распределения F (t), определяемой по границам ξ = t: F (t) = Последняя, 7 -ая колонка содержит абсолютные значения разностей Φ j – Fj. Табл. 3.4
Максимальное абсолютное значение такой разности принимаем за эмпирическое значение критерия Колмогорова-Смирнова: D Э = Критическое значение критерия на уровне значимости a = 0, 05 определяем по формуле (246) или (247). Для выборки объёмом в 120 элементов оба результата совпадают в пределах 0, 001: D T = 0, 124. Итак, нулевая гипотеза H 0 = { X Таким образом, параметры генератора стандартных нормальных чисел { E (X) = 0; s x = 1 }, построенного с использованием ЦПТ, можно признать не противоречащими выдаваемым результатам. Критерий Пирсона. Как было отмечено в начале раздела 3.3.1, можно анализировать отклонения выборочных частот n j статистического ряда от гипотетических частот для тех же интервалов nj = pj · n. В качестве меры расхождения выборочных и гипотетических частот К. Пирсон, как это изложено в [19], опираясь на принцип наименьших квадратов, предложил вычислять величину
которая, при На практике мы сталкиваемся с двумя нарушениями теоретических предпосылок вывода Пирсона: 1) отдельные интервалы содержат менее десяти частот nj; 2) гипотетическая функция распределения F 0 определена с точностью до оценок её m параметров, найденных по выборке. Первое нарушение можно исправить, объединив s малообъёмных интервалов с соседними, для того, чтобы расширенные интервалы имели не менее десяти частот nj. Некоторые авторы [14] смягчают это требование до пяти единиц. Естественно, что число интервалов уменьшится и станет равным Второе нарушение предложил учитывать Р. Фишер [19]. Для важного класса методов оценивания m параметров генеральной совокупности по выборке необходимо дополнительно уменьшать число степеней свободы критерия c2 r на количество оцениваемых параметров: r = Эмпирическое значение критерия Пирсона
Нулевая гипотеза (242) отвергается, когда
Задача 3.28. Для простой выборки, объёмом 120 элементов, приведённой в таблице 3.3, проверить по критерию Пирсона нулевую гипотезу о нормальности генеральной совокупностиH 0 = { X Преобразование выборки (Табл. 3.3) в статистический ряд выполняем аналогично тому, как это было сделано в Задаче 3.27, и размещаем результаты в Табл. 3.5. Первые три колонки обеих таблиц идентичны. Табл. 3.5
Для оценивания параметров E (X) и σ x гипотетического распределения вычисляем середины интервалов
и размещаем результаты в колонке 4. Оцениваем первый параметр гипотетического распределения – E (X):
В колонке 5 выполнено центрирование средин интервалов:
значения которых используются для нахождения центральных статистических моментов:
Промежуточные вычисления для центральных статистических моментов первого и второго порядков (r =1; 2) заносим в колонки 6 и 7. Центральный статистический момент первого порядка
Оценка второго параметра нормального распределения σ x, найденная с помощью формулы (187), близка к единице: Нормированные границы t (колонка 8) находят по формуле t = (x – a) / b, (67) используя в качестве параметров a и b их статистические оценки: nj = [ F (tj +1) – F (tj)]· n, (256) Последняя, 11 -ая колонка – это слагаемые «уменьшаемого» второго варианта предложенной выше формулы (250) критерия Пирсона:
В соответствие с ограничениями, накладываемыми на использование этого критерия (см. начало данного параграфа), гипотетические и, как следствие, эмпирические частоты 1 -го и 2 -го, а также 9 -го и 10 -го интервалов были объединены. Общее число интервалов k ¢ уменьшилось до 8 -ми. Эмпирическое значение критерия Пирсона оказалось равным Теоретические значения того же критерия
Окончательное решение по проверяемой гипотезе выглядит следующим образом: «Нулевая гипотезаH 0 = { X 3.3.2 Гипотезы о равенстве дисперсий.
|