![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Гипотеза о равенстве дисперсии некоторой константе
Дисперсия может служить показателем точности какого-то прибора, инструмента или даже технологии выполнения наблюдений. При этом часто встаёт вопрос о том, обеспечена ли требуемая точность работ. Подобный вопрос может быть сформулирован в форме нулевой гипотезы H 0 = {σ 2 = C } (259) против альтернативной H A = {σ 2 ≠ C }, (260) где С – требуемое значение дисперсии, как показателя точности. Пусть мы имеем простую выборку x 1 x 2 … xn из нормальной генеральной совокупности X
имеющая [21] χ 2 -распределение с r = (n – 1) степенью свободы. Критические границы двухстороннего доверительного интервала
Нулевая гипотеза (259) отвергается, когда Тест (261) может быть использован как для оценки качества технологии работ, включающей в себя квалификацию исполнителя, так и для оценки точностных параметров аппаратуры, когда имеется уверенность в упомянутой квалификации персонала. Пример, осреднённые данные для которого вычислены по информации из [23], стр. 178, иллюстрирует применение критерия (261) для проверки соответствия точности прибора его технической характеристике. Пример 3.29. Горизонтальный угол измерен посредством триангуляционного теодолита ТТ-2″ /6″ № 8019. Данные измерений приводятся в табл. 3.10 (только секунды дуги). Табл. 3.10
Результаты наблюдений рассматриваются как простая выборка из генеральной совокупности X. По этим данным получены несмещённые оценки математического ожидания (среднее арифметическое) и дисперсии (исправленная дисперсия) генеральной совокупности:
Задача состоит в проверке на уровне значимости α = 0, 05 нулевой гипотезы (259) о равенстве дисперсии σ 2 некоторой константе С: H 0 = { σ 2 = С }, против альтернативной (260) H A = { σ 2 ≠ С }. В качестве константы используется техническая характеристика измерений горизонтальных углов, зафиксированная в названии теодолита (m гор= 2″): С = (2″)2 = 4. Тест (261) даёт следующий результат:
Область χ 2H = χ 211; 0, 025 = 3, 82 и χ 2B = χ 211; 0, 975 = 21, 92. Таким образом, χ 2Э = 4, 26 3.3.2.2 Распределение Фишера. Распределение Фишера, или F -распределение, является законом распределения дроби, представляющей собой отношение двух стохастически не связанных величин u и v, учитывающее тот факт, что каждая из этих величин характеризуется χ 2 -распределением с числом степеней свободы ν 1 и ν 2, соответственно:
Плотность вероятности пары { u, v } равна [22]:
когда u Соответствующая функция распределения – это и есть F -распределение Фишера-Снедекора, характеризующееся двумя параметрами ν 1 и ν 2. Для часто употребляемых значений вероятностей P составляются таблицы с двумя входами ν 1 и ν 2 (Приложения П-1 и П-2): FP (ν 1, ν 2) = P. (265) Важно отметить, что величина 1/φ также имеет F -распределение с параметрами ν 2 и ν 1: F 1- P (ν 2, ν 1) = 1 / FP (ν 1, ν 2). (266) Распределение Фишера применяется для проверки гипотезы о равенстве двух несмещённых выборочных дисперсий m 12 и m 22, оценённых по простым выборкам из двух различных нормальных генеральных совокупностей, каждая из которых имеет свою дисперсию σ 12 и σ 22, соответственно. Пусть первая выборочная дисперсия m 12 вычислена по данным простой выборки, объёмом n 1, а вторая, m 22 – n 2. В таком случае дробь
как это показано в [22], будет иметь F -распределение с числамистепенейсвободы ν 1 = (n 1 – 1) и ν 2 = (n 2 – 1). Вероятность γ того, что эта дробь лежит в пределах между квантилями F 1 и F 2 определит границы доверительного интервала: P (F 1 < Для интересующей нас дроби m 12 / m 22 интервал (267) легко преобразуется в эквивалентный: P (F 1· Если предполагается, что дисперсии обеих генеральных совокупностей одинаковы, т.е. σ 12=σ 22=σ 2, то нулевая гипотеза о равенстве дисперсий записывается следующим образом: H 0 = { m 12 = m 22 = σ 2 }. (269) В таком случае интервал (267) принимает вид P (F 1 < Квантили F -распределения с (n 1 – 1) и (n 2 – 1) степенями свободы зависят от доверительной вероятности γ = P: F 1 = F (1+γ )/2(n 1–1; n 2–1), F 2 = F (1-γ )/2(n 1–1; n 2–1). Эти же квантили можно представить как функции уровня значимости α =1–γ: F 1 = F 1-α /2(n 1–1; n 2–1), F 2 = F α /2(n 1–1; n 2–1). Они ограничивают область F T = [ F 1; F 2], (271) которая с вероятностью γ = P накрывает неизвестное истинное значение отношения дисперсий. В качестве теста используется отношение б о льшей оценки дисперсии к м е ньшей. Обозначим б о льшую оценку дисперсии через m 12, а м е ньшую – m 22. Тогда тест, всегда б о льший единицы, будет иметь вид: F Э = m 12 / m 22. (272) Нулевая гипотеза (269) отвергается, когда F Э Следующий пример, данные для которого заимствованы из [23], стр. 238, иллюстрирует использование критерия Фишера-Снедекора при анализе двух выборочных дисперсий. Пример 3.30. «Горизонтальный угол измерен двумя наблюдателями посредством триангуляционных теодолитов ТТ-2″ /6″ № 8019 и 8002. Сводка измерений приводится в табл. 3.11 (только секунды дуги)». Табл. 3.11
Данные измерений рассматриваются как две простые выборки из двух генеральных совокупностей X и Y. По этим данным получены несмещённые оценки математических ожиданий и дисперсий обеих генеральных совокупностей:
Задача заключается в проверке на уровне значимости α = 0, 05 нулевой гипотезы о равенстве дисперсий H 0 = { mx 2 = my 2 = σ 2 }, (273) против альтернативной H A = { mx 2 ≠ my 2 }. (274) Эмпирическое значение теста (272) равно F Э = mx 2 / my 2 = 1, 09, а область F T = [ F 1; F 2], с доверительной вероятностью γ = 1 – α = 0, 95 и числами степеней свободы n 1–1 = n 2–1 = 10, имеет границы F 1 = F 0, 975; 10; 10 = 0, 27 и F 2 = F 0, 025; 10; 10 = 3, 72. Таким образом, F Э = 1, 09 3.3.3 Гипотезы о равенстве математического ожидания. Чаще всего востребованы две гипотезы о равенстве математического ожидания: 1) гипотеза о равенстве математического ожидания константе – H 0 = { E (X)= C }; 2) гипотеза о равенстве математического ожидания двух разных генеральных совокупностей – H 0 = { E (X) = E (Y)}. Первая гипотезаH 0 = { E (X) = C } может быть использована при компарировании или эталонировании прибора с целью оценивания его постоянной погрешности δ. Примем значение эталона за константу С. Выполнив ряд некоррелированных равноточных измерений эталона, мы получим для анализа простую выборку x 1 x 2 … xn из нормальной генеральной совокупности X
подчиняется t -распределению с (n – 1) степенью свободы, проверяем на уровне значимости α нулевую гипотезу H 0 = { E (X) = C } (275) против альтернативной H A = { E (X) ≠ C }. (276) В качестве теста используется двухсторонний ДИ t T = [ t н; t в], границы которого t н и t в представляют собой квантили распределения Стьюдента: t в = tr ; 1-a/2 и t н = – t в, (277) где r = n – 1 – число степеней свободы статистики (237). Нулевая гипотеза (275) отвергается, если m δ = m Тест (237) может быть так же использован, например, для проверки работы генератора стандартных нормальных чисел. Результаты его работы приведены в Задаче 3.27 (табл. 3.7, раздел 3.3.1.1). По этим данным мы можем проверить нулевую гипотезу о равенстве математического ожидания константе С. Задача 3.31. Используя числовые данные таблиц 3.7 и 3.9, проверить на уровне значимости α = 0, 05 нулевую гипотезу H 0 = { E (X) = C = 0}, против альтернативной H A = { E (X) ≠ C = 0}. Объём выборки n = 120. Решение. Оценка математического ожидания, т.е. среднее арифметическое выборки – это Заключение. Нулевая гипотеза о равенстве математического ожидания генератора нулю не отвергается, т.к. t Э = 0, 15 < t В = 2, 27. Вторая гипотезаH 0 = { E (X) = E (Y)} бывает востребована в ситуации, когда одна и та же величина определяется двумя разными технологиями, вероятностными моделями которых служат две случайные величины X и Y. Рассмотрим приближённый тест, предполагающий равенство генеральных дисперсий: t Э ≈ | Границы критической области лежат за пределами α / 2%-процентных квантилей t -распределения t T = [ t н; t в] с r = (nX + nY – 2) степенями свободы t в = – t н = arg(F Ст r = α /2). (280) Когда t Э В качестве примера рассмотрим технику использования данного теста для проверки нулевой гипотезы о стабильности центра рассеяния генератора стандартных нормальных чисел. Пример 3.32. Вновь воспользуемся выборкой, приведённой в таблице 3.7, дважды разбив весь массив на две половины: 1) «верхнюю» (X) и «нижнюю» (Y), и 2) «левую» (X) и «правую» (Y). Стабильность центра рассеяния эквивалентна нулевой гипотезе H 0 = { E (X) = E (Y)}. Значения средних арифметических и исправленных дисперсий для «верха» и «низа» получились такими:
Средние арифметические и исправленные дисперсии для «лево» и «право» дали несколько отличные результаты:
Объёмы половин в обоих случаях равны, т.е. nX = nY = 60. Тест (279) t Э = 0, 43 в первом случаеи t Э = 1, 16 во втором. Квантиль (280), одна и та же в обоих тестированиях, оказалась равной t B = 2, 27. Приведённые результатыпозволяют заключить, что наше предположение о стабильности центра рассеяния не опровергается опытными данными, т.к. в обоих экспериментах t Э < t B. 3.3.4 Гипотеза о некоррелированности двух случайных величин. Вопрос о некоррелированности двух генеральных совокупностей X и Y имеет очень важное практическое значение. Большинство формул для оценивающих функций выведено в предположении, что выборка, из которой они находятся, является «простой», т.е. равноточной и некоррелированной. В связи со сказанным, мы можем разбить интересующую нас выборку на две равные половины X и Y и проверить их на некоррелированность, т.е. проверить нулевую гипотезу H 0 = {ρ XY = 0} против альтернативной гипотезы H A = {ρ XY ≠ 0}. Тестом такой проверки служит точный критерий [21] t Э = rxy · Критическая область лежит за пределами «нижней (левой)» и «верхней (правой)» α / 2%-процентных точек tn –2-распределения (280). Пример 3.33. Проверить нулевую гипотезу о некоррелированности двух половин выборки из таблицы 3.7. Вновь разобьём эту выборку пополам дважды: один раз «верх» и «низ», а второй – «лево» и «право». Выборочная характеристика коэффициента корреляции «верх-низ» равна r в-н = 0, 077. Половина общей выборки содержит k = n / 2 = 60 элементов. Тест (281) получился равным t Э = 0, 58, а «верхняя» α / 2%-процентная квантиль t 58-распределения (α = 0, 05) равна t В = 2, 30. Соответствующие параметры для пары «лево-право» получились подобными, за исключением, естественно, коэффициента корреляции r л-п = 0, 185 и теста t Э = 1, 43. В обоих случаях эмпирические значения тестов оказались зн а чимо меньше граничной величины t В = 2, 30. Следовательно, нулевая гипотеза о незн а чимости коэффициента корреляции H 0 = {ρ XY = 0} не отвергается. Другими словами, генератор (169), построенный на основе ЦПТ, даёт приемлемые простые выборки из стандартной нормальной генеральной совокупности. #
|