![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Математические модели операций
В математических моделях задаются следующие компоненты: - х и у- это векторные переменные, соответствующие управляемым и неуправляемым параметрам; - множество Х допустимых значений векторной переменной х; - множество У допустимых значений векторной переменной у; - целевая функция F(x, y), устанавливающая значение критерия эффективности. (у – характеристики погодных условий, настроение). Если известно значение y, то математическая модель – детерминированная, иначе – недетерминированная.
Детерминированная модель: Пусть y принимает значение
Тогда модель может быть записана в виде: f(x)®min (1) xÎ X (Запись означает, что необходимо найти значение векторной переменной xÎ X такое, при котором функция f(x) достигает минимума). Модель (1) называется задачей оптимизации.
Недетерминированная модель: Если y является векторной случайной величиной с известной вероятностной мерой, то недетерминированная модель называется стохастическоймоделью. (Под термином “случайное явление” в теории вероятностей принято понимать явление, относящееся к классу повторяемых и, главное, обладающее свойством статистической устойчивости (при повторении средние характеристики стабилизируются).) Если операция проводится неоднократно и имеет смысл средний результат, то математическая модель имеет следующий вид: Если операция проводится однократно, либо не имеет смысла средний результат, то модель может принимать вид: Эти задачи называются задачами стохастической оптимизации. Если y не является случайной величиной, либо это случайная величина с неизвестной вероятностной мерой, то имеем модель в условияхнеопределенности. Такая модель может принимать вид: 5. Задачи оптимизации – определения В дальнейшем будем рассматривать только конечномерные задачи оптимизации, то есть задачи, допустимые множества X которых лежат в эвклидовом пространстве def. Точка
def. Точка
где def. Если неравенство в (2) или (3) выполняется как строгое при Задачу максимизации функции f на X будем записывать в виде f(x)®max (4) xÎ X Ясно, что задача (4) эквивалентна задаче -f(x)®min xÎ X в том смысле, что множества глобальных или локальных строгих или нестрогих решений этих задач соответственно совпадают (это позволяет без труда переносить утверждения для задачи минимизации на задачу максимизации и наоборот). def. Точная нижняя грань функции f на X, то есть величина называется значением задачи (1). Возможны три случая: a) f*> b) c) В случае a) задача (1) имеет глобальное решение, в случаях b) и c) – не имеет. Классификация задач оптимизации def. Если X= def. Если X - собственное подмножество def. Если X определяется соотношением def. Под множеством простой структуры в а) неотрицательного октанта: б) n -мерного параллелепипеда: в) n -мерного шара. def. Если X определяется из условия: где P - множество простой структуры
Рассмотрим также ряд важных определений из теории выпуклых множеств. def Пусть даны две точки def Множество
def Пусть
если Грубо говоря, выпуклая функция прогибается вниз. Так, на рисунке функция f(x) выпукла на отрезке [0, 1]
![]()
def. Функция вида Любая афинная функция выпукла на любом выпуклом множестве X. def. Задача (1) называется задачей выпуклой оптимизации, если f(x) – выпуклая функция, а множество X – выпуклое множество. def. Если в задаче (5)–(8) f(x) – выпуклая функция, def. Если в задаче (5)-(8) f(x) – линейная функция, def. Если в (5)-(8) f(x) - квадратичная функция, функции def. Если в задаче (5)-(8) множество P - дискретное, то задача (5)- (8) – общая задача дискретного программирования (комбинаторная задача). def. Если в (5)-(8)
|