![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Необходимые математические сведения из линейной алгебры, теории систем линейных уравнений, выпуклого анализа
(эта версия темы №2 не полная, см. укр. вариант) Векторы В дальнейшем будем считать, что
Далее Вектор – строку будем обозначать так: Скалярное произведение векторов запишем как Def Множество векторов Матрицы
Рассмотрим матрицу A размерности m´ n. Обозначим через
С учетом обозначений def 1. Рангом матрицы А по столбцам называется наибольшее число линейно независимых векторов среди n m -мерных столбцов При этом максимальное число линейно независимых столбцов равно максимальному числу линейно независимых строк. Значит аналогично определению 1 определяется ранг матрицы по строкам. def 2. Рангом матрицы А по минорам называется наибольший порядок минора среди миноров, отличных от нуля (минор – это определитель подматрицы). Для произвольной матрицы А ранг по столбцам, ранг по строкам и ранг по минорам равны.
def. Матрица А называется невырожденной (неособенной), если она квадратная (m = n) и полного ранга (rang A = n). Только невырожденная матрица имеет обратную.
Системы линейных уравнений Система m линейных уравнений с n переменными или в виде матричного уравнения Ax=b (1) Единственное решение системы существует в том случае, если m = n и А – неособенная. Тогда Используя наше обозначение Таким образом решение системы уравнений можно свести к отысканию линейной комбинации векторов Выпуклые множества Пусть x1, x2, ….., x k – произвольные точки из Выпуклой линейной комбинацией (ВЛК) этих точек называется сумма вида:
где
Теорема: Пусть Х – выпуклое множество, x1, x2, ….., x k – произвольные точки из Х. Тогда множество Х содержит любую выпуклую линейную комбинацию этих точек. Доказательство: Доказательство проведем с помощью метода математической индукции (по числу точек k). ü Ситуация, когда k = 1 тривиальна. ü При k = 2 утверждение теоремы совпадает с определением выпуклого множества. ü Пусть любая выпуклая линейная комбинация k – 1 точек множества Х принадлежит данному множеству. ü Рассмотрим k точек x1, x2, ….., xk -1, x k. Их линейная выпуклая комбинация: Если Пусть Числа Следовательно, выражение В таком случае точка
|