Описание экспериментальной установки и метода исследования динамики движения катка по рельсовому пути

2.1. На рис.1 показан общий вид экспериментальной установки, включающей в себя рельсовый путь (2) и систему блоков (4, 5, 6). Горизонтальный и прямой рельсовый путь длиной L = 2, 2 м изготовлен из стального швеллера с использованием двух его полок, по которым катится цилиндр катка (1). Для обеспечения устойчивого, нормального качения на поверхности цилиндра проточены две канавки, внутри которых происходит опора на рельсы.

Каток приводится в движение силой натяжения намотанной на него нити (3), на которой подвешен груз (8), опускающийся с начальной высоты h вместе с блоком (6). Блоки (5, 6) образуют полиспаст, уменьшающий высоту подъёма h в два раза по сравнению с длиной нити, намотанной на ободе цилиндра. Постоянная высота подъёма (и спуска) фиксирована двумя упорами: верхним (7) и нижним (9).

Примечание. В процессе наладки схемы для устранения скручивания нити и раскачивания груза вместо блока (6) установлено полукольцо с полированной канавкой, по которой скользит нить. При замене блока на полукольцо сохраняется принцип действия полиспаста и метод теоретического расчёта, приведенный в п. 2.2.

2.2. На рис. 2 показана принципиальная расчётная схема установки. Здесь даны упрощённые изображения катка и системы блоков с грузом массой m. Показана система координат, на оси которой проектируются уравнения движения.

В т. В₁ катка приложена сила натяжения нити . В т. Р₁ расположен мгновенный центр скоростей, через который проходит (перпендикулярно плоскости рисунка) мгновенная ось вращения катка. В этой точке приложена сила сцепления, на схеме эта сила не обозначена, т.к. она не требуется для расчётов.

Изогнутая стрелка с обозначениями ω, ε условно показывает направление поворота при качении с сонаправленными векторами угловой скорости и углового ускорения . В действительности векторы и направлены вдоль оси х, имеют положительные проекции на данную ось. Положительную проекцию на ось х имеет вектор момента силы натяжения , вычисляемый

относительно м.ц.с. в т. Р₁ и равный по модулю: , где 2 r – плечо силы , равное расстоянию от точки Р₁ до точки В₁.

Рис. 1.

Общий вид установки с катком

Рис. 2.

Расчётная схема установки

Изогнутая стрелка с обозначением μ _S условно показывает, что при движении катка к нему приложена пара сил с моментом сопротивления качению, равным по модулю: , где: N – нормальная реакция, действующая со стороны рельсового пути; δ – плечо пары сил, равное расстоянию между линиями действия силы тяжести G_K, приложенной к центру масс катка, и нормальной реакции N = G_K. Смещение линии действия силы N объясняется деформацией поверхностей в точках контакта. Пара сил с моментом μ _S препятствует качению тела; вектор направлен противоположно вектору .

Примечание. На схеме рис. 2 силы G_K и N не показаны. Для более детального ознакомления с физическими явлениями при качении тел рекомендуется обратиться к специальным руководствам, приведенным в списке литературы. Имеется также описание в методических указаниях к лабораторной работе № 1 «Исследование качения стальных шаров».

Плечо пары δ называется коэффициентом сопротивления качению, в справочниках его величина дана в сантиметрах. При качении по стальным опорным поверхностям – для тел разной формы, изготовленных из стали, - величина (10^-1 ÷ 10^-3) см.

Для исследования нормального качения обычно применяется уравнение – закон динамики мгновенно-вращательного движения тел относительно оси, проходящей через м.ц.с. Векторная форма такого уравнения имеет вид:

(1)

Здесь: J_P1 – момент инерции катка относительно мгновенной оси вращения; , , - указанные выше векторы углового ускорения катка, момента силы натяжения относительно м.ц.с и момента сопротивления качению. Отметим, что момент силы сцепления, приложенной к катку в т. Р₁, равен нулю, т.к. плечо этой силы оказывается равным нулю при расчёте относительно м.ц.с.

Примечание. Когда сцепление в точках контакта между катящимся телом и опорной поверхностью обеспечено, тогда величина силы сцепления несущественна. Это замечательное свойство сил сцепления имеет фундаментальное объяснение, состоящее в том, что мощность (и работа) сил сцепления равна нулю, т.к. такие силы приложены к м.ц.с. – точкам тела, имеющим нулевую скорость.

С помощью уравнения (1), как будет показано, можно найти неизвестный момент инерции катка J_P1 и величину момента сопротивления μ _S. Для этого потребуется определить момент сил натяжения нити М_Р1 и угловое ускорение катка ε в зависимости от масс грузов, подвешиваемых на блоке в точке С₂ (см. рис. 2).

Запишем уравнение поступательного движения груза массой m – II закон динамики Ньютона:

(2)

Здесь - ускорение груза, равное ускорению точки С₂; - сила тяжести; - направленные вверх две силы натяжения нитей, скользящих по блоку с незначительным трением, которым пренебрегаем и по этой причине полагаем, что показанные на рис. 2 силы натяжения на двух участках нити равны между собой. Пренебрегая также массой двух других вспомогательных блоков и трением на их осях, получаем, что в т. В₁ катка приложена такая же по величине сила натяжения нити, как и в т. В₂ на блоке с грузом.

Величина силы S, необходимая для расчёта М_{Р 1}, определяется из уравнения (2), если известны ускорение груза и его масса. Масса груза дана в эксперименте; ускорение можно найти, измеряя время спуска t с заданной высоты h и учитывая, что при постоянных силах G и S выполняется известная из кинематики формула:

(3)

Осталось выяснить, как определяется угловое ускорение катка ε. Рассмотрим схему на рис. 2. При повороте катка полное (линейное) ускорение т. В₁ равно векторной сумме центростремительного и вращательного ускорений. Вращательное ускорение направлено вдоль нити и равно:

(4)

С таким же по величине ускорением движутся все точки нити – вплоть до т. В₂. Если такое условие нарушено, тогда скорости точек нити окажутся разными и нить должна разорваться (либо изменять длину при растяжении, но в данной схеме применяется нерастяжимая нить).

Итак, получили: . Теперь учтём, что (см. рис. 2) длина участка нити от точки Р₂ до верхней точки закрепления нити увеличивается при опускании груза, но сама нить на этом участке остается неподвижной. Следовательно, в т. Р₂ – мгновенный центр скоростей, относительно которого скорость и вращательное ускорение т. В₂ в два раза больше, чем скорость и ускорение точки С₂, где подвешен груз. В результате получаем:

(5)

где: - ускорение груза.

Из (4) и (5) имеем:

(6)

где: r – радиус катка.

Приведём теперь сводку формул, необходимых для обработки результатов опыта, записав уравнения движения катка и груза в виде проекций на оси координат.

(7а)

(7б)

(7в)

(7г)

M_p1 = 2rS (7д)

= at (7е)

t (7ж)

Здесь: t – время опускания груза массой m с высоты h; – линейная скорость груза в момент опускания на нижний упор с высоты h; ω – угловая скорость катка в конце пробега по рельсовому пути. Значения и ω понадобятся для исследования энергетического баланса и расчёта к.п.д. установки (эта тема рассмотрена в следующем разделе).

Отметим, что единственным видом прямых измерений в опыте является измерение времени опускания грузов. В эксперименте используются 5 грузов, для каждого из которых необходимо измерить время спуска с высоты h не менее пяти раз. Значения масс грузов, высоты спуска и радиуса катка также являются результатом прямых измерений, но эти данные получены заранее и приведены в разделе «Порядок выполнения эксперимента». В этом же разделе будет дана методика определения момента инерции катка и момента сопротивления качению – с помощью графика, построенного для уравнения (7б), которое получено из векторного уравнения (1).