Умножение чисел с плавающей запятой

Сложение чисел с плавающей запятой

Если имеются два числа в нормальной форме: Х₁ = m₁ 10^p1 и Х₂ = m₂ 10^p2, то для того чтобы их можно было сложить, нужно предварительно привести их к одному и тому же порядку Робщ, т. е. преобразовать одно из слагаемых, например, первое следующим образом:

Х₁ = m₁ 10^p1 = m₁^* 10^p1 = m₁^* 10^pобщ.

Далее можно вынести степень основания системы за скобки и произвести сложение мантисс: Х₁ + Х₂= m₁^*10^pобщ. + m₂ 10^pобщ. = (m₁^* + m₂) 10^pобщ.

Преобразовывать всегда нужно меньше слагаемое, так как в противном случае произойдет переполнение разрядной сетки мантиссы преобразуемого числа.

Машинная операция сложения чисел в нормальной форме распадается таким образом, на 4 этапа:

1. Уравниваются порядки слагаемых: меньший порядок увеличивается до большего, мантисса преобразуемого числа сдвигается вправо (число денормализуется) на соответствующее количество разрядов. Практически в машинах производится вычитание порядков операндов. Знак и модуль разности Р1 - Р2 определяют соответственно, какое из слагаемых нужно преобразовывать и на сколько единиц следует сдвигать мантиссу преобразуемого числа.

2. Производится преобразование мантисс слагаемых в один из модифицированных кодов.

3. Мантиссы слагаемых суммируются по правилам сложения дробных чисел с фиксированной запятой.

4. В случае надобности мантисса суммы переводится в прямой код, производится нормализация суммы и округление ее мантиссы.

ПРИМЕР. Используя дополнительный код, сложить два числа:

[X₁]_пр = 0 101; 1, 10101 и [X₂]_пр = 0 100; 1, 11001

порядок мантисса

РЕШЕНИЕ:

[X₂]_пр = 0 101; 1, 011001

[m₁]^мод = 11, 01011; [m₁]^мод = 11, 100111.

^{доп доп}

[m₁]^мод = 11, 01011

^доп

[m₂]^мод = 11, 01011

доп

[m₃]^мод = 110, 111101

доп

отбрасывается запрещенная комбинация

4. Комбинация знаковых цифр мантиссы показывает, что сумма денормализована влево (всегда только на один разряд)

Произведем нормализацию суммы вправо

[m₃]^мод = 10, 111101 1, 0111101

^доп

Р_общ = 0, 101 + 0, 001 = 0, 110

Далее переводим сумму в прямой код и производим округление ее мантиссы до пяти разрядов.

Ответ: [X₃]_пр = 0 110; 1, 1000011 ~ 0 100; 1, 10001

порядок мантисса

Умножение чисел с плавающей запятой

Если имеем два сомножителя, заданные в нормальной форме Х₁ = m₁ 10^p1 и Х₂ = m₂ 10^p2, то их произведение определяется следующим образом:

Х₁ Х₂ = m₁ m₂ 10^p1+р2.

Анализ этого соотношения показывает, что умножение чисел в машинах с плавающей запятой производится в четыре этапа:

1. Определение знака произведения путем сложения по модулю два знаковых цифр мантисс сомножителей.

2. Перемножение модулей мантисс сомножителей по правилам для дробных чисел с фиксированной запятой.

3. Определение порядка произведения путем алгебраического сложения порядков сомножителей с использованием либо дополнительного, либо обратного модифицированного кода.

4. Нормализация результата и округление мантиссы в случае необходимости. Поскольку сомножители обязательно являются нормализованными числами, то де нормализация произведения возможна только на разряд и только вправо.

ПРИМЕР. Перемножить числа с плавающей запятой.

Множимое [X₁]_пр = 0 101; 1, 10101

Множитель [X₂]_пр = 0 100; 1, 11001

Решение.

1. Знак произведения 1 + 0 = 1.

2. Перемножаем модули мантисс:

1-й шаг, 0000 0000 - нулевая сумма

+, 0000 1010 - 1-е частичное произведение

2-й шаг, 0000 1010 - 2-я сумма

+, 0000 0000 - 2-е частичное произведение

3-й шаг, 0000 1010 - 3-я сумма

+, 0010 1000 - 3-е частичное произведение

4-й шаг, 0011 0010 - 4-я сумма

+, 0101 0000 - 4-е частичное произведение

, 1000 0010 - модуль произведения мантисс.

Находим порядок произведения:

[р₁]^мод = 00, 101

^доп

[р₂]^мод = 11, 101

доп

[р₃]^мод = 100, 010

^доп

теряется

Производим округление мантиссы произведения.

Ответ: [X₃]_пр = [Х₁ Х₂]_пр = 0 010; 1 100

порядок мантисса

Вопрос 13: Двоично-десятичная система кодирования. Соответствие двоично-десятичного кода и десятичных цифр. Сложение двоично десятичных чисел.

Двоично-десятичный код — форма записи рациональных чисел, когда каждый десятичный разряд числа записывается в виде его четырёхбитного двоичного кода.

Например, десятичное число 311₁₀ будет записано в двоичной системе счисления в двоичном коде как 1 0011 0111₂, а в двоично-десятичном коде как 0011 0001 0001_BCD.

Двоично-десятичные числа складывают по правилам двоичного сложения. Однако двоичное сложение может иногда давать неверный результат и тогда приходится выполнять коррекцию результата.

Вопрос 14: Переполнение разрядной сетки машины.

При сложении чисел одинакового знака, представленных в форме с фиксированной запятой, может возникнуть переполнение разрядной сетки. Признаком переполнения является отличие знака результата о т знаков слагаемых: складывали 2 отрицательных числа - получили положительный результат. Чтобы не было переполнения необходимо расширить разрядную сетку.

Например:

A=-1101 [A]доп=10011

В=-1001 [B]доп=10111

C=A+B [C]доп=01010

Запишем числа А и В в пяти битах

A=-01101 [A]доп=110011

В=-01001 [B]доп=110111

C=A+B [C]доп=101010

С=-10110

Вопрос 15: Представление алфавитно-цифровой информации (коды ASCII и ДКОИ).

Любая информация в ЭВМ представляется в виде двоичных кодов. Отдельный элемент двоичного кода, принимающий значение 0 или 1, называют битом. Бит является наименьшей единицей информации, которая может быть представлена в ЭВМ. Группа из восьми двоичных разрядов называется байтом. Более крупными единицами информации являются килобайт (1024 = 210 байт), мегабайт (1048576 = 220 байт), гигабайт (1073741824 = 230 байт).