Об упругих линейно-деформируемых системах
Приложение нагрузки к любому сооружению вызывает его деформацию. В реальных случаях нагрузка возрастает медленно. Плавное приложение нагрузки называется статическим.
Упругой системой называется такая система, которая после удаления нагрузки возвращается в начальное недеформированное состояние. Линейно деформируемыми системами называются такие, в которых перемещения и деформации выражаются линейными однородными функциями внешних сил Fi. Например, для рис. 1 имеем
Δ = α F, (1)
где α – коэффициент, зависящий от материала, схемы и размера сооружения.
Увеличим нагрузку F на dF. Это вызовет увеличение перемещения на d Δ. Составим выражение элементарной работы dW, отбрасывая при этом бесконечно малые величины второго порядка малости:
dW = (F + dF) d Δ = F·d Δ + dF·d Δ  F·d Δ, но d Δ = α ·dF, тогда dW = Fα ·dF и
а с учетом формулы (1) получаем теорему Клайперона
для сосредоточенной нагрузки F: W = F Δ /2;
для сосредоточенного момента М: W = M  /2, где – угол поворота поперечного сечения стержня;
для распределенной нагрузки q: W = qS /2, где S – площадь эпюры перемещения на участке действия этой распределенной нагрузки.
При вычислении работы применяется принцип независимости действия сил, например, работа внешних сил, изображенных на рис. 2, равна
Выразим работу внешних сил через внутренние усилия.
Подсчитаем элементарную работу нормальных сил N (рис. 3):
 (2)
работу поперечных сил Q (рис. 4), полагая, что tg γ = Δ y / dx γ,
 (3)
где k – поправочный коэффициент, учитывающий неравномерное распределение касательных напряжений τ по поперечному сечению. И наконец, подсчитаем элементарную работу изгибающих моментов М (рис. 5):
 (4)
Суммируя три результата (2 – 4), получим значение элементарной работы от внутренних сил:
 (5)
Формула (5) для системы брусьев примет вид:
 (6)
На основании закона сохранения энергии W = U, где U – потенциальная энергия.
Подсчеты показывают, что для системы, работающей на изгиб, первый член формулы (6) составляет около 3%, второй – около 1%, третий – порядка 96%.
|
